备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题27 实际问题中的解三角形问题

专题27 实际问题中的解三角形问题

考纲要求:

1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

2.研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达． 基础知识回顾: 1．仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．

图(a) 图(b)

2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．

3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度． 4.

＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径． sin Asin Bsin Cabc由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 5．余弦定理：a＝b＋c－2bccos A，b＝a＋c－2accos B，c＝a＋b－2abcos C．

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b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.

2bc2ac2ab6.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况

A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的 个数 a＝bsinA bsinA＜a＜b 两解 a≥b a＞b a＜bsinA a≤b 无解 一解 一解 一解 无解 7.三角形常用的面积公式 1111abc(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.

22224R1

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

2应用举例:

类型一、测量高度问题

【例1】【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试数学（理）试题】

如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东150?BAC?150方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东600方向上，此时测得山顶P的仰角600，若山高为23千米， （1）船的航行速度是每小时多少千米？

（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？

??

【答案】（1）航行速度是每小时6?3?1千米.（2）山顶位于D处南偏东1350.

?

【例2】 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．

【答案】106

【解析】如图，设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x. 在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.

在△BDC中，由余弦定理得，BD＝BC＋CD－2BC·CD·cos 120°，

即(3x)＝x＋40－2·x·40·cos 120°，解得x＝40，所以电视塔高为40 m. 点评：求解高度问题应注意的3个问题

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类型二、测量距离问题

研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．

【例3】【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】 如图所示，某公路

一侧有一块空地

，其中

，

．当地政府拟

在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．

（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；

（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．

【答案】（1）

（2）最小面积是

【解析】试题分析： （1）先利用余弦定理分别求出

，再利用角度转化和正弦定理求出

；（2）设

，利用三角形之间的正余弦定理转化应用，解得，应用函数化简技巧，

解得最小值。