反三角函数及性质

y=arcsinx.

函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。

反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。

理解 函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记

性质

根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1，1]，值域[－π/2，π/2]，是单调递增函数

图像关于原点对称，是奇函数

所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x∈[-1，1] 导函数：

，导函数不能取|x|=1

，

反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1] (arcsinx)'=1/√(1-x^2)

arcsinx=-arcsin(-x) arcsin（sinx)=x ，x属于[0，π/2]

arccosx

反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。

就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，则arccos(b) = a； 它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1，1】。

由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0，π】，记作y=arccosx，我们称它叫做反三角函数中的反余弦函数的主值，

arctan x

反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b; 等价于 arctan(b) = a

定义域 :{x∣x∈R} , 值域 ：y∈（-π/2,π/2) 计算性质：

tan(arctana)=a arctan(-x)=-arctanx

arctan A + arctan B=arctan(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arctan(A-B)/(1+AB)

反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x→0时，arctanx~x

是一种数学术语。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

2数学术语编辑

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数，而不是f-1(x）。

⑴正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。【图中红线】

⑵余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。【图中蓝线】

⑶正切函数y=tan x在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。【图中绿线】

注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】 反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用深红色线条； y=arccos(x），定义域[-1，1] ， 值域[0，π]，图象用深蓝色线条；

y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用浅绿色线条； y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），暂无图象； sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域 [-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx

证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得 其他几个用类似方法可得

cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx

绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)

[1]

绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)

[1]

3公式编辑

反三角函数其他公式： cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) +

1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘

arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… 举例

当 x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]， arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2）， arctan(tanx)=x x∈（0，π）， arccot(cotx)=x

x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似

若 (arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则 arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2