（全国通用）2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示学案

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情考向分析 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

2

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→22②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?＋?y2－y1?. 3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0. 知识拓展

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

1

2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b?＝.

x1y1x2y2

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( √ )

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) 题组二 教材改编

2．[P97例5]已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 答案 (1,5)

→→

解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

??4＝5－x，即?

?1＝6－y，?

x1y1

x2y2

??x＝1，解得?

?y＝5.?

3．[P119A组T9]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________. 1

答案 －

2

解析 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，

得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线， 得

2m－n3m＋2nm1

＝，所以＝－. 4－1n2

mn题组三 易错自纠

4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案 0

→→

5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________. 答案 (－7，－4)

2

→

解析 根据题意得AB＝(3,1)，

→→→

∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

6．(2016·全国Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. 答案 －6

解析 因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.

题型一 平面向量基本定理的应用

1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 答案 B

解析 方法一 设a＝k1e1＋k2e2，

?k2＝3，?

A选项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴?

??2k2＝2，

无解；

B选项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，

??－k1＋5k2＝3，

∴?

?2k1－2k2＝2，?

??k1＝2，

解得?

?k2＝1.?

故B中的e1，e2可以把a表示出来； 同理，C，D选项同A选项，无解．

方法二 只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求．

→1→→→2→

2．(2017·济南模拟)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则

311实数m的值为________．

答案

3

11

3

→1→→→

解析 ∵AN＝NC，∴AC＝4AN，

3→→2→→8→∵AD＝mAB＋AC＝mAB＋AN，

1111又P，B，N三点共线，∴m＋

83

＝1，即m＝. 1111

思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二 平面向量的坐标运算

典例 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )

?8?A.?1，?

?3?

C.?

?138?B.?－，? ?33?

4??13

D.?－，－?

3??3

?13，4?

??33?

答案 D

解析 由已知3c＝－a＋2b

＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 4??13

所以c＝?－，－?.

3??3

(2)(2017·北京西城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋

λμb(λ，μ∈R)，则等于( )

μ

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D

解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，

4