2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

n?1ak?11ak?1n?111即．……………………10分 ?，从而an?a1?????akk(n?1)!k?1akk?1k因此

?aai?150i101?i4911 ?????(99?i)!i?1(i?1)!(100?i)!i?0i!50149i149i119929899?i……………………20分 ?(C99?C99)???2??C99?99!?99!i?099!299!i?0

11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆C1,C2均与直线OP相切于点P，且均与轴相的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值． 解：设抛物线C的方程是y2?2px(p?0)，点Q的坐

标

为

切．求点F

(?a,0)(a?0)，并设C1,C2的圆心分别为

O1(x1,y1),O2(x2,y2)．

设直线PQ的方程为x?my?a(m?0)，将其与C的方程联立，消去x可知y2?2pmy?2pa?0． 因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为??4pm?4?2pa?0，解得m?知，点P的坐标为(xP,yP)?(a,2pa)．于是

222a．进而可p|PQ|?1?m2|yP?0|?1?由｜PQ｜=2可得

2a?2pa?2a(p?2a)． p4a2?2pa?4 ①……………………5分

注意到OP与圆C1,C2相切于点P，所以OP?O1O2．设

圆

C1,C2与x轴分别相切于点M，N，则OO1,OO2分别是

?POM,?PON的平分线，故?O1OO2=90°．从而由射

知

22y1y2?O1M?O2N?O1P?O2P?OP2?xP?yP?a2?2pa

影定理

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结合①，就有y1y2?a2?2pa?4?3a2 ②……………………10分 由O1,P,O2共线，可得

y1?2pa2pa?y2化简得

?y1?yPOPOMy?1?1?1．

yP?y2PO2O2Ny2y1?y2?22pay1y2 ③……………………15分

22令T?y1，则圆C1,C2的面积之和为?T．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况． ?y2根据②、③可知，

T?(y1?y2)2?2y1y2?422y1y2?2y1y2 2pa4(4?3a2)(2?a2)222?(4?3a)?2(4?3a)?． 4?4a21?a22作代换t?1?a，由于4t?4?4a2?2pa?0，所以t?0．于是

T?(3t?1)(t?1)11?3t??4?23t??4?23?4．

ttt31，此时a?1?t?1?，因此结合①得， 33上式等号成立当且仅当t?p1?a2??2at1?13?3t3?3?13?3

从而F的坐标为(

p1,0)?(,0)．………………………20分 23?32016年全国高中数学联合竞赛一试第10页，共14页

2016年全国高中数学联合竞赛

加试

22一、（本题满分40分）设实数a1,a2,…,a2016满足9ai?11ai2…。求,2015)(i?1,2,(a?a)(a?a?11223)…2(a2015?a2016)(a2016?a12)的最大值。

222解：令P?(a1?a2)(a2?a3)…(a2015?a2016)(a2016?a12)，

由已知得，对i?1,2,…，2015，均有ai?ai?1?2若a2016?a1?0，则P?0。……………10分

2112ai?1?ai2?1?0。 92以下考虑a2016?a1?0的情况。约定a2017?a1。由平均不等式得 12016201612016120162?(ai?ai?1)?(?ai??ai2?1) ?2016i?12016i?1i?1P201612016120162?(?ai??ai)?ai(1?ai)………………20分 ?2016i?12016i?1i?112016ai?(1?ai)2111?[]??2016?? ?2016i?12201644所以P?142016。………………30分

当a1?a2?…?a2016?1)，此时时，上述不等式等号成立，且有9ai?11ai2,2,…,2015?1(i?12P?142016。

综上所述，所求最大值为

142016。………………40分

二、（本题满分40分）如图所示，在?ABC中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得

BX?AC?CY?AB。

设?ACX，?ABY的外心分别为O1，O2，直线O1O2与AB，AC分别交于点U，V。 证明：?AUV是等腰三角形。

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证法一：作?BAC的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为?1和?2。由内角平

BPABBXAB??。由条件可得。从而

CYACCPACPXBX?BPABBP??? PYCY?CPACCP即CP?PX?BP?PY。…………20分

分线的性质知，

故P对圆?1和?2的幂相等，所以P在?1和?2的根轴上。…………30分

于是AP?O1O2，这表明点U，V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形。…………40分

证法二：设?ABC的外心为O，连接OO1，OO2。过点O,O1,O2，分别作直线BC的垂线，垂足分别为

D,D1,D2，作于点K。

我们证明。在直角三角形OKO1中，

OO1?O1K

sin?O1OK由外心性质，OO1?AC。又OD?BC，故?O1OK??ACB。 而D,D1分别是BC，CX的中点，所以DD1?CD1?CD?因此

111CX?BC?BX。 2221BXO1KDD1BX2 OO1????RABsin?O1OKsin?ACBAB2RCY这里R是?ABC的外接圆半径。同理OO2?R。…………10分

ACBXCY?由已知条件可得，故OO1?OO2。…………20分 ABAC

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