高中数学选修2-1同步练习-3.2.1直线的方向向量和平面的法向量1word版含答案

C．梯形 [答案] D

D．菱形

→→→1→1→1→

[解析] ∵PQ＝BQ－BP＝BC－BA＝AC．

222→1→→→

同理SR＝AC，∴PQ＝SR，

2∴四边形PQRS为平行四边形， →→→1→1→1→又∵PS＝AS－AP＝AD－AB＝BD，

2221→1→

∴|PS|＝|BD|，即PS＝BD，

221→1→

又|PQ|＝|AC|，∴PQ＝AC，

22

∵AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四边形ABCD为菱形．

12．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中在平面α内的是( ) A．(1，－1,1) 3

C．(1，－3，)

2[答案] B

→→→

[解析] 对于选项A，PA＝(1,0,1)，PA·n＝5，∴PA与n不垂直，排除A；同理可排除C、D．对于选项B，1→→有PA＝(1，－4，)，∴PA·n＝0，∴选B．

2

二、填空题

13．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为__________．

[答案] x＋y＋z＝3

→

[解析] 由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量OA＝(1,1,1)， →→

因为P∈α，∴OA⊥AP， ∴(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0， ∴x＋y＋z＝3．

14．(2013·清华附中月考)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为__________．

51[答案] (，0，)

33

x－1→→→→

[解析] 设点C的坐标为(x,0，z)，则AC＝(x－1,2，z－3)，AB＝(1,3，－4)，因为AC与AB共线，所以1

3

B．(1,3，)

23

D．(－1,3，－)

2

2z－3＝＝，解得3－4

三、解答题

??1?z＝3

5x＝3

51

，所以点C的坐标为(，0，)．

33

15．设a，b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系； (1)a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)； (2)a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；

(3)a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)． [解析] (1)∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)， ∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2． (2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)， ∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2．

(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)， ∴a与b不共线也不垂直． ∴l1与l2相交或异面．

16．在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形边长为32，棱锥的侧棱长为5，E、F、G分别为BC、CD、PC的中点，用向量方法证明下列问题．

(1)EF⊥PA； (2)EF∥平面PBD；

(3)直线PA与平面EFG不平行． [解析] 设AC与BD的交点为O， ∵P－ABCD为正四棱锥， ∴PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

以O为原点，OB，OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

∵正方形ABCD边长为32，∴OB＝OC＝3，