中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)

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龚恒雷

苏州中考题：【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出OC，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． （3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．

【解答】解：（1）令y=0，由a（x﹣6x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a， ∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），该抛物线对称轴为直线x=3， ∴OA=2，如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，由题意得：O′A=OA=2， ∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°，∴∠OAC=∠O′AC=60°，∴OC=2

，即8a=2

，∴a=

；

2

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立， ①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM， ∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4， ∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD， ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形， ②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合）， ∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FB=3，GB=，∴3≤PB， ∵PC≥4，∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD， ∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， 如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA=PB， ∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， ∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，﹣a），点P的坐标是（3，t）， ∴PC=3+（t﹣8a），PD=（t+a），由PC=PD得PC=PD，∴3+（t﹣8a）=（t+a）， 整理得：7a﹣2ta+1=0有两个不相等的实数根，∴a=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=，

∴a=或a=，∵t＞3，∴显然a=或a=，

满足题意，∴当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a=使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

或a=，

【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．

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例6. 【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

2

【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=2，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+k． 将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得

，∴y=﹣（x﹣2）+9=﹣x+4x+5．

2

2

2

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，﹣x+4x+5），

22

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE =（x+2）（﹣x+4x+5）﹣x?（﹣x+4x+4）﹣×1×1=﹣x+x+=﹣（x﹣）+∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为此时点P坐标为（，

）．

，把x=时，y=﹣（﹣2）+9=

2

2

2

2

2

．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．

2

令y=﹣x+4x+5=3，解得x=2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）； 作点M1关于x轴的对称点M2，则M（﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM221，

最小．设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：m=

，n=﹣

，∴y=

x﹣

．

当y=0时，解得x=∴a=

．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=．

时，四边形PMEF周长最小．

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【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．

变式练习：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y?12x?bx?c得23?c?1?13??b??解得? 2∴抛物线的解折式为y?x2?x?1。?1?b?c?022???2?c?1123m?m?1 22131即 E点的坐标（m，m2?m?1）又∵点E在直线y?x?1上

222131∴m2?m?1?m?1 解得m1?0（舍去），m2?4，∴E的坐标为（4，3） 222（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为

（Ⅰ）当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0），易知D点坐标

DOOA2111即?，∴a＝ ，∴P1（，0） ?OAOP1a2211（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）

2（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、3）由∠OPA+∠FPE＝90°，

AOOP1b得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE。由得?? 解得b1?3，b2?1

PFEF4?b3为（－2，0），由Rt△AOD∽Rt△POA得：∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）

111，0）或（1，0）或（3，0）或（，0） 2233（3）抛物线的对称轴为x?…（9分）∵B、C关于x＝对称 ∴MC＝MB

22综上所述，满足条件的点P的坐标为（

要使|AM?MC|最大，即是使|AM?MB|最大。由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM?MB|的值最大．

3?x??y??x?1?31??2易知直线AB的解折式为y??x?1∴由? 得? ∴M（，－） 31x?22??y???2??2苏州中考题：解：⑴∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.∴ ，即 .∵PC= ，AB=4，∴ .∴在Rt△APB中，由勾股定理得： .

⑵过O作OE⊥PD，垂足为E. ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD. 在矩形OECA中，

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CE=OA=2，∴PE=ED=x－2. ∴ .

∴ .∵ ，∴当 时， 有最大值，最大值是2.

例7．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型． 【分析】（1）AO=AC﹣OC=m﹣3，用线段的长度表示点A的坐标；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m﹣3），又P（1，0）为抛2物线顶点，可设顶点式，求解析式；（3）设Q（x，x﹣2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC=m，代入即可． 【解答】（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0）． （2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）． 又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）， 得：解得∴抛物线的解析式为y=x﹣2x+1； 22（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N， 22设点Q的坐标是（x，x﹣2x+1），则QM=CN=（x﹣1），MC=QN=3﹣x． ∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，∴，∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，∴，又∵AC=4，∴FC（AC+EC）=即FC（AC+EC）为定值8． [4+2（x﹣1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8 即，得 即，得EC=2（x﹣1） 【点评】本题考查了点的坐标，抛物线解析式的求法，综合运用相似三角形的比求线段的长度，本题也可以先求直线PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的长． 变式练习：解：⑴∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则 ∠ ∠ .∴ . ∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x.∴ ，即 . ∴y关于x的函数关系式为 . 当y =3时， ，解得:x=2.5. ⑵∵

， 52

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