(优辅资源)湖南师大附中高三月考试卷(六)(教师版)数学(文)Word版含解析

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题 号 答 案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) C A A D C C C A C C D B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

(13)已知集合A＝{3，a2}，B＝{0，b，1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝__{0，1，2，3}__． 【解析】∵A＝{3，a2}，集合B＝{0，b，1－a}，且A∩B＝{1}， ∴a2＝1，解得：a＝1或a＝－1，

当a＝1时，1－a＝1－1＝0，不合题意，舍去； 当a＝－1时，1－a＝1－(－1)＝2，此时b＝1， ∴A＝{3，1}，集合B＝{0，1，2}， 则A∪B＝{0，1，2，3}． 故答案为：{0，1，2，3}．

(14)已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为__26－3__． 【解析】∵正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4， 4－2x∴y＝(0＜x＜2)．

x＋1∴x＋y＝x＋－3，

当且仅当x＝6－1时取等号． ∴x＋y的最小值为26－3.

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4－2x6－（2＋2x）6

＝x＋＝(x＋1)＋－3≥2x＋1x＋1x＋16

（x＋1）·－3＝26

x＋1

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故答案为：26－3.

(15)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点1

落在阴影部分内的概率为____．

3

【解析】设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的

1

面积为5＋5＋×2×2＝12，

2

1

阴影部分的面积为2×2××2＝4，

2

411

∴向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为＝，故答案为. 1233(16)函数y＝f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是kA、kB，规定|kA－kB|

φ(A，B)＝叫做曲线y＝f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线y＝ex＋x上不同

|AB|2两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1－x2＝1，则φ(A，B)的取值范围是__?0，【解析】y＝ex＋x的导数为y′＝ex＋1， kA＝ex1＋1，kB＝ex2＋1，

??2－1??__． 2?φ(A，B)＝|AB|2＝＝，

（x1－x2）2＋（ex1－ex2＋x1－x2）21＋（ex1－ex2＋1）2

x1－x2＝1，可得x1＞x2，ex1＞ex2，

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|kA－kB||ex1－ex2||ex1－ex2|

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可令t＝ex1－ex2，

t

可设f(t)＝，t＞0，

1＋（t＋1）2

1＋（t＋1）2－2t（t＋1）2－t2

f′(t)＝＝，

（1＋（t＋1）2）2（1＋（t＋1）2）2当0＜t＜2时，f′(t)＞0，f(t)递增； 当t＞2时，f′(t)＜0，f(t)递减．

2－12

则当t＝2处f(t)取得极大值，且为最大值＝.

21＋（2＋1）2则φ(A，B)∈?0，

?

?2－1?

?. 2?2－1?

?. 2?

故答案为：?0，

??

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)

已知数列{an}中，a1＝2，且2an＝an－1＋1(n≥2，n∈N)． (Ⅰ)求证：数列{an－1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设bn＝n(an－1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn＜4. 111

an－1＋?－1＝(an－1－1), 2分 【解析】(Ⅰ)an－1＝?2??22又a1－1＝1≠0，

1

∴数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列. 4分

21?

∴an－1＝??2?

n－1

＋

1?，得an＝??2?n－1

n－1

＋1.5分

1?(Ⅱ)bn＝n(an－1)＝n??2?，

n－1234n

设Sn＝1＋＋2＋3＋…＋n－2＋n－1 ①

22222n－1n11234

则Sn＝＋2＋3＋4＋…＋n－1＋n ②8分 2222222

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111111n1n

①－②得：Sn＝1＋＋2＋3＋4＋…＋n－1－n＝2－n－1－n，

2222222222＋n2n

∴Sn＝4－n－1－n－1＝4－n－1，10分

2222＋n1?n－1

?Sn＝4－n－1<4，又bn＝n?2?>0，

2∴数列{Sn}是递增数列，故Sn≥S1＝1， ∴1≤Sn＜4. 12分

(18)(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E、F分别是BC、PC的中点．

(Ⅰ)证明：AE⊥平面PAD；

(Ⅱ)取AB＝2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为6

，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由． 2

【解析】(Ⅰ)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形， ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC. 又BC∥AD，因此AE⊥AD. ∵PA⊥平面ABCD，AE∴PA⊥AE. 而PA

平面PAD，AD

平面PAD，PA∩AD＝A， 平面ABCD，

∴AE⊥平面PAD; 4分

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