圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

x1?9k?29k2?518kAP18所以 =1?=1???=

22PBx29k?29k?59k?29k?59?29?5由 ??(?54k)2?1809k2?4?0, 解得 k2?所以 ?1?1?

189?29?5k21??，综上 5.

k2??5， 95 ?1?AP??1.

PB分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的

根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于

xAP??1不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方PBx2法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 构造所求量与k的关系式 简解2：设直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得

关于所求量的不等式 由判别式得出k的取值范围

?9k则

2?4x2?54kx?45?0 （*）

??54k?x?x?,2??19k2?4 ??xx?45.12?9k2?4?2x11324k令??，则，???2?.

x2?45k2?20在（*）中，由判别式??0,可得 k2?5， 9 13

1361324k2364????2????5. 从而有 4?，所以 ，解得 ??5545k2?2051???1. 5AP1??. 综上，?1?PB5结合0???1得

点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB?1，

OF?1．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点

F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。

思维流程：

????????????（Ⅰ） 由 AF ? FB ? 1，OF?1 ( a ? c )( a ? c ) ， c ? ? 11

14 a?2,b?1 写出椭圆方程

（Ⅱ）

?y?x?m3x2?4mx?2m2?2?0 ?2 消元 x 2 ? 2 y ?2?由F为?PQM的重心 PQ?MF,MP?FQ kPQ?1

两根之和， 两根之积 ????????MP?FQ?0 得出关于 m的方程 解出m 解题过程：

x2y2（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),则c?1

ab又∵AF?FB?1即 (a?c)?(a?c)?1?a2?c2，∴a2?2

x2故椭圆方程为?y2?1

2 （Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为?PQM的垂心，则

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0)，故kPQ?1，

?y?x?m于是设直线l为 y?x?m，由?2得，3x2?4mx?2m2?2?0 2?x?2y?2????????∵MP?FQ?0?x1(x2?1)?y2(y1?1) 又yi?xi?m(i?1,2)

得x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0 即

15

2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0 由韦达定理得 2m2?24m2??(m?1)?m2?m?0

33解得m??44或m?1（舍） 经检验m??符合条件． 33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2,0)、B(2,0)、

?3?C?1,?三点． ?2?（Ⅰ）求椭圆E的方程：

（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(?1,0),H(1,0)，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；

思维流程： （Ⅰ） 解出 m , n

（Ⅱ） 由 ? DFH 内切圆面积最大 转化为 ? DFH 面积最大 转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大 D 为椭圆短轴端点

由椭圆经过A、B、C三点 设方程为mx2?ny2?1 得到m,n的方程?DFH面积最大值为3 S?DFH1??周长?r内切圆 2r内切圆?3 3得出D点坐标为?0,????3?? 3??16