圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

圆锥曲线解题方法技巧

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率k?tan?,??[0,?) k?y2?y1 x2?x1②点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离 d?Ax0?By0?CA?B22

③夹角公式：直线（3）弦长公式

l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2 夹角为?， 则tan??k2?k1

1?k2k1直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离 ①AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 ②AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ③AB?1?1y1?y2 k2（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）

l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2

①l1?l2?k1k2=-1 ② l1//l2?k1?k2且b1?b2

（Ⅱ）

l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0

①l1?l2?A1A2?B1B2?0

② l1//l2?A1B2-A2B1=0且AC12-A2C1?0或

A1B1C1??者（A2B2C2?0） A2B2C21

两平行线距离公式

?l1:y?kx?b1|b1?b2| 距离 d??2l:y?kx?b?221?k?l1:Ax?By?C1?0|C?C2| 距离d?1 ?22l:Ax?By?C?0?22A?B2、圆锥曲线方程及性质

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2＝1

abab（a?b?0）。方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

x2y2?1(m?0,n?0且m?n) 标准方程：?mn 距离式方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a 参数方程：x?acos?,y?bsin?

若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是___（答：

5,2）

x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。

abab22方程Ax?By?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点

2

P(4,?10)，则C的方程为_______（答：x2?y2?6）

（3）抛物线：开口向右时y2?2px(p?0)，开口向左时y2??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 x2y2如已知方程则m的取值范围是__（答：??1表示焦点在y轴上的椭圆，

m?12?m3(??,?1)?(1,)）

2（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a最大，a2?b2?c2，在双曲线中，c最大，c2?a2?b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②

ab焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四

a2个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤

cc离心率：e?，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

a25x2y210如（1）若椭圆?，则m的值是__（答：3或）； ?1的离心率e?35m5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

x2y2（2）双曲线（以2?2?1（a?0,b?0）为例）：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦

ab点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相

2a等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??；

cc，双曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，eab越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。双曲线的方程的形式有两种

a⑤离心率：e?x2y2?1(m?n?0) 标准方程：?mn 3

距离式方程：|(x?c)2?y2?(x?c)2?y2|?2a

p（3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，

2其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中

cp心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。

a2如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（答：(0,1； )）16ax2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外

ab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1；

abab22x0y0?2?2?1 ab6.记住焦半径公式：

（1）椭圆焦点在x轴上时为a?ex0;焦点在y轴上时为a?ey0，可简记为“左加右减，上

加下减”。

（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|?a （3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|?pp,焦点在y轴上时为|y1|? 227.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题） 设

A?x1,y1?22x2y2??1的弦AB中点则有 、B?x2,y2?，M?a,b?为椭圆4322x1yxyx?x2?1?1，2?2?1；两式相减得143443?22???y21?y232??0

??x1?x2??x1?x2?4???y1?y2??y1?y2?3?kAB=?3a 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？

如果有两个参数怎么办？

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