2017年山东省济南市高考数学一模试卷（理科） 有答案

如果对于常数m，在正方形ABC的四条边上有且只有6个不同的点P，使得么m的取值范围是 （﹣1，8） ．

?=m成立，那

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】建立坐标系，逐段分析

的取值范围及对应的解得答案．

【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 如图，则E（0，6），F（8，4）．

（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8． ∴∴

=（﹣x，6），

=（8﹣x，4）．

≤24．

=x2﹣8x+24，∵x∈[0，8]，∴8≤

∴当m=8时有一解，当8＜m≤16时有两解． （2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8． ∴∴

=（0，6﹣y），

=（8，4﹣y）．

=（6﹣y）?（4﹣y）=y2﹣10y+24，

＜24．

∵0＜y≤8，∴﹣1≤

∴当m=﹣1或8＜m＜24，有一解，当﹣1＜m≤8时有两解． （3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8． =（﹣x，﹣2），∴∴﹣8≤

=（8﹣x，﹣4）．

=x2﹣8x+8，∵0＜x≤8．

≤4．

∴当m=﹣8或m=8时有一解，当﹣8＜m＜8时有两解． （4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8， ∴∴

=（﹣8，6﹣y），

=（0，4﹣y）．

=（6﹣y）?（4﹣y）=y2﹣10y+24，

＜24．

∵0＜y＜8，∴﹣1≤

∴当m=﹣1或8≤m＜24时有一解，当﹣1＜m＜8时有两解． 综上，在正方形ABC的四条边上有且只有6个不同的点P，使得值范围是（﹣1，8）． 故答案为：（﹣1，8）．

?=m成立，那么m的取

三、解答题（本题共6小题，共75分） 16．已知函数f（x）=（sin+cos）2﹣2（1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在[0，π]上的值域．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的区间上，解不等式得函数的单调递增（递减）区间；

（2）x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大和最小值，即得到f（x）的值域．

【解答】解：（1）函数f（x）=（sin+cos）2﹣2化简可得：f（x）=1+sinx﹣由

∴f（x）的单调增区间为[由

∴f（x）的单调减区间为[

得

，）+1，

得，cosx+

=sinx﹣≤x≤

]，k∈Z． ≤x≤

+2kπ， cos2+

．

）+1，

cos2+

．

cosx+1=2sin（x﹣

，

]，k∈Z．

（2）由（1）可知f（x）=2sin（x﹣∵x∈[0，π]上， ∴x﹣当x﹣当x﹣

∈[==

，

]，

时，函数f（x）取得最小值为=1．

时，函数f（x）取得最大值为1×2+1=3．

故得函数f（x）在[0，π]上的值域为[

，3]．

17．如图，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为2，下底面中心为O，上、下底面边长分别为2和4．

（1）证明：直线OC1∥平面ADD1A1； （2）求二面角B﹣CC1﹣O的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）法一：推导出四边形AOC1A1是平行四边形，从而AA1∥OC1，由此能证明直线OC1∥平面ADD1A1．

法二：设上底面中心为O1，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线OC1∥平面ADD1A1．

（2）求出平面BCC1的法向量和平面CC1O的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣CC1﹣O的余弦值．

【解答】证明：（1）证法一：∵正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为2， 下底面中心为O，上、下底面边长分别为2和4． ∴AO

A1C1，∴四边形AOC1A1是平行四边形，

∴AA1∥OC1，

∵AA1?平面ADD1A1，OC1?平面ADD1A1， ∴直线OC1∥平面ADD1A1．

证法二：设上底面中心为O1，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴， 建立空间直角坐标系， O（0，0，0），C1（﹣D（﹣

，0，2），A1（

，2），

=（﹣2，0，2），A（2

）， ，﹣

，0），

=（﹣

，0，2），

，0，0），

=（0，﹣

设平面ADD1A1的法向量=（x，y，z）， 则

，取x=

，得=（

，﹣2

，1），

=﹣2+2=0．

∵OC1?平面ADD1A1， ∴直线OC1∥平面ADD1A1． 解：（2）B（0，=（﹣2

，﹣

，0），C（﹣2，0），

，0，0），

，2），

=（﹣

设平面BCC1的法向量=（x，y，z）， 则

，取x=1，得=（1，﹣2，﹣

），

平面CC1O的法向量=（1，0，0）， 设二面角B﹣CC1﹣O的平面角为θ， 则cosθ=

=

=

．

∴二面角B﹣CC1﹣O的余弦值为

．

18．已知{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，S3=9，并且a2，a5，a14成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn=

．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）若cn=

，求数列{cn}的前n项和M．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）列方程组计算a1和公差d，得出an，利用bn+1=Tn+1﹣Tn得出bn+1，从而得出bn； （2）化简cn，使用错位相减法计算Mn．