概率论与数理统计 超详细笔记 考研复习必备

概率论基础知识

概率论基础知识

第一章 随机事件及其概率 一 随机事件

§1几个概念

1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；

E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C?? 例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。

例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，??，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.

例如，在E1中，用数字1，2，??，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，?{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如，

在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}

在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，??}

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例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。

此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）

若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为

(组合)

例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为

§2事件间的关系与运算

第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列

1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为AB或BA。

例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}

2、相等：若A

B且B

A，则称事件A等于事件B，记为A=B

B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4， 6}则

例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B

3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A

B，或A+B

例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。 推广：

有限个

无穷可列个

B或AB。

4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A

例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则AB={接到6的倍数次呼唤}

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推广：

任意有限个

无穷可列个

5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。

例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝

6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。

例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。

7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为显然，A∩=φ

例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则

§3事件的运算规律

1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A

2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C） 4、对偶律

此外，还有一些常用性质，如 A∪ B 若A

={取得的3个产品均为正品}。

A，A∪BB（越求和越大）；A∩BA，A∩B等等。

B（越求积越小）。

B，则A∪ B=B, A∩ B=AA-B=A-AB=A

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例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝ 解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３

示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为

或

表

例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解：

A1A2A3={三次射击都击中目标}

A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}

例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。

解，不难看出有如下一些关系：

二 事件的概率

§1概率的定义

所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)≥0，P（Ω）=1。 1、古典概型中概率的定义

古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。 （1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同； 例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为 Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）=

。

而P（B）=3P（A）=

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