高数系列讲义之六

高数系列讲义之六

第六章 多元函数微积分

6．1 空间解析几何基础知识

一、空间直角坐标系：从空间的任一点O，引出三条互相垂直的数轴OX、OY、OZ，且有相同的长度单位，这样就形成了空间直角坐标系。

三个数轴中，内外轴是OX轴，左右轴是OY轴，上下是OZ轴。 二、坐标平面：由三个数轴组成的平面叫坐标平面。坐标平面一共有三个： ①XOY平面（水平面） ②XOZ平面（侧面） ③YOZ 平面（正面） 三、卦限：三个坐标平面将空间分成8个部分，称为8个卦限，简称“八卦”。

四、对应关系：空间中的任一点与三维坐标（x,y,z）形成一对一关系。即空间任一点都可以用三维坐标来表示；任一三维坐标都可以表示空间一点。 五、对称点：

（x,y,z）关于XOY平面的对称点坐标是（x,y,-z）； （x,y,z）关于XOZ平面的对称点坐标是（x,-y,z）； （x,y,z）关于YOZ 平面的对称点坐标是（-x,y,z）； （x,y,z）关于原点对称点坐标是（-x,-y,-z）。 六、空间两点距离公式：

在已知两点三维坐标的情况下，两点的距离等于对应坐标差的平方和的算术平方根。

6．2 多元函数的基本概念 一、多元函数的定义：

①设有三个变量x、y、z，当变量x,y在一定的平面区域内任取一对数值时，按照某种对应关系，变量z有唯一确定的数值与之对应，则x、y都是自变量，z是x、y的二元函数。 通常记为z=f（x,y）

②三元函数通常记为：u=f（x,y,z），四元函数通常记为：v=f（x,y,z,u）…… 二元及以上的各元函数都是多元函数。 多元函数主要研究二元函数。

二、二元函数的定义域的求法：与一元函数类似。 习题：6-2：1

1

6．3 偏导数 一、偏导数的个数

①二元函数的有两个偏导数：fx、fy ②三元函数的有三个偏导数：fx、fy、fZ 。 ③n元函数的有n个偏导数 一阶偏导数有四种表示方法 二、偏导数的计算原则：

对哪个变量求偏导数，只有该变量才是变量，其余所有变量都看成常量，这样就变成一元函数，求导方法与以前完全相同。 三、二元函数的二阶偏导数 二元函数的二阶偏导数有四个：f二阶偏导数也有四种表示方法

四、二阶偏导数的计算方法：先求一阶导数，再求二阶导数 习题：6-3：1 1）、2）、3） 2 1） 2）

6．4 全微分

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XX、fXY 、 fyX、fyy /

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一、 二、

二元函数全微分公式：dz= fxdx+ fydy 三元函数全微分公式：du= fxdx+ fydy+ fZdz

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习题6-4 1

6.5 多元复合函数求导法则

一、z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y), 则复合函数z=f(u(x,y), v(x,y))求导公式是： zx= zu ux+ zv vx , zy= zu uy+ zv vy,

二、z=f(x,y), x=x(t), y=v(t), 则复合函数z=f(x(t), v(t) )求导公式是： zt= zx xt+ zy yt ,

三、z=f(u), u=u(x,y), 则复合函数z=f(u(x,y))求导公式是： zx= zu ux ，zy= zu uy 四、引入中间变量求导的条件：

多元复合函数求偏导时一般不用引入中间变量，直接求导；只有同时满足下列两个条件是才要引入中间变量：

① 函数有不明确的对应关系f（或其它）； ② 自变量是两部分。

2

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习题6-5：1 1）2）、 3、4 、6 1） 6）

6-6 隐函数及其求导法则

一、隐函数定义：变量之间的关系通过一个方程式确定的函数关系叫隐函数； 用自变量的解析式表示函数关系的叫显函数。 二、一元隐函数求导法则：

设f（x，y）=0是一元隐函数，求导dy/dx的方法： 1、设新函数F（ x，y）= f（x，y） 2、求偏导数：Fx、Fy 3、代入公式：dy/dx=- Fx/Fy 三、二元隐函数求导法则

设f（x,y,z）=0是二元隐函数，求导dz/dx、dz/dy的方法： 1、设新函数F（ x,y,z）= f（x,y,z） 2、求偏导数：Fx、Fy、Fz

3、代入公式：dz/dx=- Fx/Fz，dz/dy=- Fy/Fz 习题6-6：1 1）3） 3、4 1） 2）

6．7 二元函数的极值

一、定义：设（x，y）是（x0，y0）邻域内的点：

1、若f（x0，y0）>f（x，y），则f（x0，y0）是z=f（x，y）极大值，（x0，y0）是极大值点； 2、若f（x0，y0）

1、 求偏导

2、找驻点（令fx=0，fy=0，方程的解就是驻点（x0，y0），只有驻点才会产生极值） 3、求A、B、C，其中：

A= f//XX（x0，y0） B =f//XY（x0，y0） C=f//yy（x0，y0） 4、判断

① 若B2-4AC<0，f（x0，y0）是极值，且A>0是极小值，A<0是极大值。 ② 若B2-4AC>0，f（x0，y0）不是极值； ③ 若B2-4AC=0，无法判断。 习题6-7：1 1）

3

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6．8 二重积分

一、概念：二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体积，通过分割、近似、求和、取极限的方法求出曲顶柱体的体积，此极限也是z=f（x，y）在D区域内的二重积分。

即：

二、二重积分的性质：

① 函数和（差）的二重积分等于每一个函数二重积分的和（差）； ② 常数乘以函数的二重积分，常数可以提出来。

③ 将积分区域D分成两个小区域D1，D2，则大区域的二重积分等于两个小区域的

二重积分的和。

④ 1的二重积分等于积分区域的面积σ；k的二重积分等于kσ 三、计算二重积分的方法和步骤

1、 二重积分要化成两个一次定积分计算，后边的先算，前边的后算。 2、 计算二重积分的关键是选择的积分次序，积分次序有先y后x或先x后y。

3、 若D是矩形，两个一次定积分的上下限都是常数，此时只考虑选择第一次积分容易的次

序。

4、 若D不是矩形，则后边积分的上下限是变量，前边积分的上下限还是常数，即先算变上

下限积分，此时选择积分次序依次要考虑两个因素：①积分难易 ②是否分块 5、 具体步骤是：①画出D图，求出交点坐标，确定上下限。

②画箭头（先画↑，再画→），确定边界简单的方向。

6、 在积分难易相当的情况下，积分次序取决于边界的简单方向，即选择箭头少的方向。

① 若上下边界简单（即↑少），积分次序是先y后x（求面积时对x求积分） ② 若左右边界简单（即→少），积分次序是先y后x（求面积时对x求积分） 7、 在同等条件下，积分次序选择先y后x。 二、求二重积分与求面积时的异同点： 1、 相同点：①都要画D图 ②都要画箭头。 2、 不同点：

①二重积分是将x、y排次序求两次定积分，而求面积只选x、y中的一个求一次积分。 ②二重积分有被积函数，但没有变量上下限；而面积有常数上下限，但没有被积函数。

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