2016年四川省高考数学试卷理科(高考)

【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；

（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；

（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．

【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1， ∴a=0.3；

（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12， 由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万； （Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；

月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%； 则x=2.5+0.5×

=2.9吨

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．

【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．

（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函

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+=．

数值即可．

【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵∴由正弦定理得：∴

∵sin（A+B）=sinC．

∴整理可得：sinAsinB=sinC，

（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=． sinA=，

+tanB=4．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°． （Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

==

=1，

=， =

， ，

+

=

，

【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可． （II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD

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﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．

【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD， ∵BC=CD=AD，∴ED=BC，

∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB?平面PAB，

∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．

（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，

∴AP⊥平面ABCD． ∴CD⊥PD，PA⊥AD．

因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°． ∴PA=AD．

不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴

=（﹣1，1，0），

=（0，1，﹣2），

=（0，0，2），

，可得：

．

设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）． 设直线PA与平面PCE所成角为θ， 则sinθ=

=

=

=．

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【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*．

（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求an的通项公式； （Ⅱ）设双曲线x2﹣

=1的离心率为en，且e2=，证明：e1+e2+???+en＞

．

【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{an}的通项公式．

（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得en=q的值，可得{an}的解析式，再利用放缩法可得∴en=得不等式成立．

【解答】解：（Ⅰ）∵Sn+1=qSn+1 ①，∴当n≥2时，Sn=qSn﹣1+1 ②，两式相减可得an+1=q?an，

即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．

当n=1时，∵数列{an}的首项为1，∴a1+a2=S2=q?a1+1，∴a2 =a1?q， ∴数列{an}为等比数列，公比为q．

∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3 =2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，或 q=﹣．

根据q＞0，故取q=2，∴an=2n﹣1，n∈N*．

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，根据e2==

＞

，求得，从而证