线性代数-（周勇）文档

确定．

引例2线性方程组

?a11x1?a12x2??ax?ax?211222???????am1x1?am2x2??a1nxn?b1,?a2nxn?b1, （１．１）

?amnxn?bm,其中xi（i＝１，２，…，n）代表n个未知量，m是方程的个数，aij（i＝１，２，…，m;j＝１，２，…，n）称为方程组的系数，bi（i＝１，２，…，m）称为常数项．为了便于研究和求

解线性方程组，我们把系数和常数项取出并按原来的位置排成下列数表:

?a11a12??a21a22???am1am2这样的数表称为矩阵 定义1

a1na2namnb1??b2? （１．２） ??bm?1由m×n个数aij (i=1,2,…，m;j=1,2,…，n)排成m行n列的

a11a21am1a12a22am2a1na2namn

称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵．为了表示它是一个整体，总是加一个括弧(中括弧或小括弧)，并用大写黑体字母表示它，记作

?a11a12?aa22A??21???am1am2a1n??a2n?, ??amn?3)也可简记为A＝(aij）m×n

（１．３）其中aij表示矩阵第i行第j列的元素．矩阵(1或A＝(aij），m×n矩阵A也记为Am×n．

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中除特别声明外，都是指实矩阵

．当m=n时，A称为n阶方阵． 只有一行的矩阵

A=(a1a2有一列的矩阵

an）称为行矩阵，为了避免元素间的混淆，行矩阵一般记作A=(a1,a2,,an）．只

?a1???aA??2?

?????an?称为列矩阵．

两个矩阵若行数相等且列数相等，则称它们是同型的．若A＝(aij）m×n与B＝(bij）m×n同型，且它们的对应元素相等，即

aij?bij(i=1,2,…，m;j=1,2,…，n),

则称矩阵A与B相等，记为

A=B．

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O．注意不同型的零矩阵是不相等的． 显然，当未知量x1,x2,,xn的顺序排定后，线性方程组(1

1)与矩阵(12)是一一对应的，

于是可以用矩阵来研究线性方程组．

例1 设一组变量x1,x2,,xn到另一组变量y1,y2,ym的变换由m个线性表达式给出：

?y1?a11x1?a12x2??a1nxn,?y?ax?ax??ax,?22112222nn（１．４） ????ym?am1x1?am2x2??amnxn,其中常数aij (i=1,2,…，m;j=1,2,…，n)为变换(1量y1,y2,4)的系数，这种从变量x1,x2,,xn 到变

ym 的变换称为线性变换．线性变换的系数构成m×n矩阵(1

3)，称为线性变换(1

4)的系数矩阵．

例 2 将某种物资从m个产地 A1,A2,,Am运往n个销地B1,B2,,Bn. 用aij表示由产

3)表示．下

地 Ai（i=1,2,…，m)运往销地 Bj（j=1,2,…，n)的物资数量，则调运方案可用矩阵(1面介绍几个重要的n阶方阵．

例3由n个变量x1,x2,,xn到n个变量y1,y2,yn的线性变换

?y1?x1,?y?x,?22 ????yn?xn,称为恒等变换，它的系数矩阵

?10?01E?????000??0? ??1?称为n阶单位矩阵，简称单位阵．n阶单位矩阵的特点是：从左上角到右下角的直线(称为主对角线)上的元素都是1，其他元素都为零．也就是

Ｅ＝（δij），

其中

δij＝1，当i=j时，

０， 当i≠j时．

例4线性变换

?y1??1x1,?y??x,?222 ????yn??nxn,对应的系数矩阵

??10?0?2A?????000??0? ???n?称为对角阵．对角阵的特点是：不在主对角线上的元素都为零．当λ１＝λ２＝…＝λn时，

称此矩阵为数量矩阵．

?a11a12?0a22A????0?0

a1n??a2n? ??ann?称为上三角阵．上三角阵的特点是：主对角线以下的元素全为零，即当i＞j时，aij＝０．类

似地，方阵

?a110??a21a22???an1an2称为下三角阵．

0??0? ??ann?第二节矩阵的运算

一、 矩阵的加法

定义2.1设有两个m×n矩阵： A＝(aij）m×n，B＝(bij）m×n，那么矩阵

C?(cij)m?n?(aij?bij)m?n

?a11?b11a12?b12?a?ba22?b22??2121???am1?bm1am2?bm2a1n?b1n??a2n?b2n? ??amn?bmn?称为矩阵A与B的和，记为C＝Ａ＋Ｂ． 注意: 只有同型矩阵才能进行加法运算．

设A，B，C，O均为m×n矩阵，容易证明矩阵加法满足下列运算规律： (i) 交换律A+B＝B+A； (ii) 结合律(A+B)+C=A+(B+C); (iii) A+O=A. 设矩阵A＝(aij）m×n，记-A＝(-aij）m×n，称为A的负矩阵，显然有 A+(-A)=O, 由此定义矩阵的减法为

Ａ－Ｂ＝Ａ＋（－Ｂ）．

二、 数与矩阵的乘法 定义2

2设λ是常数，A＝(aij）m×n，则矩阵

?A?A??(?aij)m?n??a11?a12??a21?a22??????am1?am2???amn??a1n??a2n??

称为数λ与矩阵A的乘积．

设A，B为m×n矩阵，λ，μ为数，由定义可以证明数与矩阵的乘法满足下列运算规律： (i) (λμ)A=λ(μA)=μ(λA); (ii) (λ+μ)A=λA+μA;

(iii) λ(A+B)=λA+λB;(iv) 1·A=A,(-1)A=-A. 三、 矩阵与矩阵相乘

定义2.3设矩阵 A?(aij)m?s,B?(bij)s?n, 则m×n矩阵C?(cij)m?n,其中

cij?ai1b1j?ai2b2j??aisbsj??aikbkj

k?1s称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB.

由定义可以看出：C=AB中第i行第j列的元素cij等于A的第i行与B的第j列的元素的乘