线性代数-（周勇）文档

定理52′如果齐次线性方程组(53)有非零解，则它的系数行列式必为零．定理52′说明系数行列式D＝０是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面还将证明这个条件也是充分的．

例2 问λ取何值时，齐次线性方程组

??(5??)x?2y?2z?0???0 ?2x?(6??)y??2x?(4??)z?0??有非零解?

解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D＝０，

5??D?2226??0204??

＝（５－λ）（６－λ）（４－λ）-4(4-λ)-4(6-λ)

＝（5-λ)(2-λ)(8-λ),由Ｄ＝０得： λ＝２,λ＝５,λ＝８．

第六节典型例题

例1 证明：

ax?byay?bzay?bzaz?bxaz?bxax?by

az?bxax?byay?bzxyzxzx. y3?(a3?b3)yz证明 利用性质5，把行列式拆成2个行列式的和，除两个外，其余均因有两行成比例而等于零，即

axayazayazazx左边?a3yzaxayyzxbybzbxbxbybzzyx?b3zyyzxxzx.yzxyxy zax?bzbxbyx?(a3?b3)yz例2计算行列式

Dn?????0?????0????000000000000

???????解按第1列展开，可得Dn与其同类型的较低阶行列式的关系.

?0????Dn?(???)Dn?1??(?1)1?200?(???)Dn?1?2?Dn?2,000000???? ????即Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)，

或Dn－βDn－1=α(Dn－1－βDn－2). 由此递推下去，得

Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)=β·β(Dn－2－αDn－3)=…=βn－2(D2－αD1). 而D2?????(???)2?????2??2???,

????n?22n代入上式，得Dn??Dn?1?????.（1） n同理，可得Dn??Dn?1??..（2）

当α≠β时，由（1）式、（2）式解得

?n?1??n?1Dn?.

???当α=β时，由（1）式或（2）式递推下去，得

Dn?(n?1)?n.

例3计算n阶行列式

x1a1a1a1a1解

a2x2a2a2a2a3a3x3a3a3an?1an?1an?1xn?1an?1ananananxnDn?(xi?ai,i?1,,n),

Dn?x1a1?x1a1?x1a2x2?a20x1x1?a1?1?11??nan0xn?ana2x2?a210

??(xi?ai)i?1nanxn?an01a2x2?a21anxn?an01

??(xi?ai)i?1nk?1akxk?aknak?(1??)?(xi?ai)k?1xk?aki?1n例4计算行列式

11Dn?x1x2x21x22x2n?1x2nx1n?2x2n?2xn?1n?2xnn?2x1nx2n. xn?1nxnn1xn?11xn

解 只需在Dn中加上最后一行和最后第二列，就变成n+1阶范德蒙行列式的转置行列式的转置行列式

1x11x2Dn?1?1xn1y于是有

x21x22xn2y2nx1n?2x2n?2xn?1nyn?2x1n?1x2n?1xn?1nyn?1(xi?xj)x1nx2n

xn?1nynDn?1?DTn?1??(y?xi)i?1n?ij?1??(y?x1)(y?x2)n??y??(x1?x2?(y?xn)n?ij?1?(xi?xj)?(?1)nx1x2xn??.

?xn)yn?1?n?ij?1?(xi?xj)若把Dn+1按最后一行展开得

Dn?1?anyn?yn?1(?1)n?1?nDn??anyn?(?Dn)yn?1?而yn?1?a0?a0.

的系数恰好是(－Dn).比较上式两边ynn?1的系数，便得

Dn?(?xi)i?1n?ij?1?(xi?xj).

例5

1234555533设A?32542,

2221146523求（1）A31?A32?A33;（2）A34?A35. 解将A中第三行的元素依次换成5，5，5，3，3.则第二行与第三行的对应元素相等，于是行列式的值等于0.按第三行展开，则有

5(A31?A32?A33)?3(A34?A35)?0（1）

同理，将A中第三行的元素换成第四行的对应元素，按第三行展开则有

2(A31?A32?A33)?A34?A35?0（2）

解（1），（2）联立方程组，得

A31?A32?A33?0,A34?A35?0.

第二章 矩阵

第一节矩阵的概念

引例1在平面解析几何中，当坐标轴逆时针旋转θ角时，新旧坐标之间存在如下的变换公式：

x＝x′cosθ－y′sinθ， y=x′sinθ＋y′cosθ．

显然，这种新旧坐标之间的关系完全可以由公式中的系数所构成的数表

?cos???sin??sin??? cos??