线性代数-（周勇）文档

a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44

中元素a23的余子式和代数余子式分别为

a11M23?a31a41

a12a32a42a14a34; a44A23?(?1)2?3M23??M23

引理一个n阶行列式D，如果第i行所有元素除aij外全为零，则行列式

D?aijAij.

证 先证aij位于第1行第1列的情形，此时

D?a11a210a220a2nann,

an1an2这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有

D?a11M11?a11A11.

再证一般情形，此时

a11D?0an1a1jaijanja1n0. ann我们将D作如下的调换：把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数aij就调到了第1行第j列的位置，调换次数为i-1次；再把第j列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数aij就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数aij调到第1行第1列的位置，第一行其他元素为零，所得的行列式记为D１，则，而aij在D１中的余子式仍然是aij在D中的余子式Mij，利用前面的结果，有

D1?aijMij

于是 D?(?1)i?jD1?(?1)i?jaijMij?aijAij

定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 Ｄ＝ai１Ai１＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n), 或

Ｄ＝a１jA１j＋a2jA2j＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)． 证

a11D?ai1?0?an1a11?ai1an1a120an2a1na11a12?00?ai2?0?an2a12ai2a1n0?ann?00?a1n?0?ain anna11?0a120a1nain, ann0?0annan1an2an1an2根据引理有

Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)． 类似地，我们可得到列的结论，即

Ｄ＝a1jA1j＋a2jA2j＋…+anjAnj＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．

例1再解第三节中例1．

2解 D??57?9?61?12120011121

0630?3544?1?7122?2?1?1?(?1)1?31226?30013?1?10213?1013?10

?(?1)1?1?(?3)＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９． 例2计算行列式

an0a1D2n?0c10cn

解 按第1行展开有

bnb10d1

dnan?10a1D2n?an0c1cn?100an?10a1?bn?(?1)1?2n0c10cncn?100d1b10d1b1bn?100

dn?100dnbn?10

dn?10?andnD2(n?1)?bncnD2(n?1)?(andn?bncn)D2(n?1),,

以此作递推公式，得

D2n?(andn?bncn)D2(n?1)?(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)D2(n?2)??(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)?(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)n(a2d2?b2c2)(a1d1?b1c1)a1c1b1d1

?i?1(aidi?bici),其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积． 例3 证明范德蒙(Vandermonde)行列式

1x1Dn?x21xn?111x2x22xn?121xnx2n?xn?1nn?ij?1?(xi?xj)（４．１）

证 用数学归纳法证明．当n=2时，

1D2?x11??(x?xj) x2n?ij?1i(4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn降阶，从第n行开始，后一行减前一行的 x1倍得

10Dn?01x2?x1x2(x2?x1)1x3?x1x3(x3?x1)1xn?x1xn(xn?x1) xn?2n(xn?x1)0xn?22(x2?x1)xn?23(x3?x1)

按第1列展开，并提取每一列的公因子，有

Dn?(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)1x2x2n?21x3x3n?21xnxnn?2

上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n≥i＞j≥2（xi－xj），故

Dn?(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)n?ij?2?(xi?xj)

n?ij?1?(xi?xj).