物理作业习题答案（已整理）

1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即

dr(1)

dt； (2)

drdt；

ds(3)

dt； (4)

?dx??dy???????dt??dt?22．

下述判断正确的是( D )

(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确

*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( C )

(A) 匀加速运动,v(B) 匀减速运动,v(C) 变加速运动,v(D) 变减速运动,v?v0 cosθ?v0cosθ ?v0 cosθ?v0cosθ ?v0

(E) 匀速直线运动,v1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为x(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t＝4 s时质点的速度和加速度． 解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小

?2?6t2?2t3,式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求：

Δx?x4?x0??32m

(2) 由 得知质点的换向时刻为

dx?0 dttp?2s (t＝0不合题意)

则

Δx1?x2?x0?8.0m

Δx2?x4?x2??40m

所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为

s?Δx1?Δx2?48m

(3) t＝4.0 s时

1 -9 质点的运动方程为

x??10t?30t2

y?15t?20t2

式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．

试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向． 解 (1) 速度的分量式为

vx?dx??10?60t dtvy?dy?15?40t dt2当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ-1 , voy ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

v0?v0x?v0y?18.0m?s?1

设vo与x 轴的夹角为α,则

2tanα?v0yv0x??3 2α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为

ax?则加速度的大小为

dvydvx??40m?s?2 ?60m?s?2 , ay?dtdta?ax?ay?72.1m?s?2

设a 与x 轴的夹角为β,则

22tanβ?ayax??2 3β＝-33°41′(或326°19′)

1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．

解 (1) 由参数方程

x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2

消去t 得质点的轨迹方程：

y ＝19.0 -0.50x2

(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度

v?(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为

Δrr2?r1??2.0i?6.0j Δtt2?t1v(t)?vxi?vyj?dxdyi?j?2.0i?4.0tj dtdtd2xd2ya(t)?2i?2j??4.0m?s?2j

dtdt则t1 ＝1.00ｓ时的速度

v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j

切向和法向加速度分别为

att?1s?dvd2?2et?(vx?v2y)et?3.58m?set dtdtan?a2?at2en?1.79m?s?2en

(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为

2?1v?vx?v2y?4.47m?s

v2则ρ??11.17m

an2 -3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( C )

(A) 不得小于(C) 不得大于

μgR (B) 必须等于μgR

μgR (D) 还应由汽车的质量m 决定

2 -6 图示一斜面,倾角为α,底边AB 长为l ＝2.1 m,质量为m 的物体从题2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为μ＝0.14．试问,当α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短？ 其数值为多少？

解 取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有

mgsinα?mgμcosα?ma

(1)

又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有

l11?at2?g?sinα?μcosα?t2

cosα22则

t?2l (2)

gcosα?sinα?μcosα?为使下滑的时间最短,可令

dt?0,由式(2)有 dα?sinα?sinα?μcosα??cosα?cosα?μsinα??0

则可得

tan2α??1o,??49 μ此时

t?2l?0.99s

gcosα?sinα?μcosα?2 -8 如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)

解 分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有

mA g -FＴ ＝mA a (1) F′Ｔ1 -Fｆ ＝mB a′ (2) F′Ｔ -2FＴ1 ＝0 (3)

考虑到mA ＝mB ＝m, FＴ ＝F′Ｔ , FＴ1 ＝F′Ｔ1 ,a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力

Ff?mg??m?4m?a?7.2N

2

2 -14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m·ｓ-1 ．求质点在任意时刻的速度和位置．

解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有

120t?40?mdv dt依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得

?xvv0dv???12.0t?4.0?dt

0tv＝6.0+4.0t+6.0t2

又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有

?dx???6.0?4.0t?6.0t?dt

t2x00x ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3

2 -18 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑．试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力．

解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力FN ．取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得

Ft??mgsinα?mdv (1) dtmv2Fn?FN?mgcosα?mR由v (2)

?rdαdsrdα,得dt?,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有 ?vdtdt?得

vv0vdv??α90o??rgsinα?dα

v?2rgcosα

ω?v?2gcosα/rr

则小球在点C 的角速度为

由式(2)得

mv2FN?m?mgcosα?3mgcosα

r???FN??3mgcosα FN由此可得小球对圆轨道的作用力为

负号表示F′N 与en 反向．

3 -6 一架以3.0 ×102 m·ｓ-1 的速率水平飞行的飞机,与一只身长为0.20 m、质量为0.50 kg 的飞鸟相碰．设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略不计．试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)．根据本题的计算结果,你对于高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会？

解 以飞鸟为研究对象,取飞机运动方向为x 轴正向．由动量定理得

F?Δt?mv?0式中F′为飞机对鸟的平均冲力,而身长为20cm 的飞鸟与飞机碰撞时间约为Δt ＝l /v,以此代入上式可得

mv2F???2.55?105N

l鸟对飞机的平均冲力为