2019-2020版数学新设计同步人教A版选修2-1讲义：第一章 常用逻辑用语 1.4(1.4.1~1.4.2) Word版含答案

∴－

1的最大值为1. x0＋x

0

2

又∵?x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0成立， ∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1). 方向2 根据全称命题的真假求参数取值范围

【例3－2】 若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.

解 ①当m＋1＝0即m＝－1时，原不等式为2x－6<0，不恒成立. ②当m＋1≠0，则

??m＋1<0，??m<－1，???

2

??3（m－1）<0，?Δ<0，?Δ＝（m－1）－4（m＋1）·

?m<－1，13??综上，m<－. 1311?m<－11或m>1，

规律方法 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.

【训练3】 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

(2)若命题p：1－sin 2x＝sin x－cos x是真命题，求实数x的取值范围. 解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

7?7?解得a≥4，∴实数a的取值范围为?4，＋∞?.

??

(2)由得∴1－sin 2x＝sin x－cos x，

sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cos x， （sin x－cos x）2＝sin x－cos x，

即|sin x－cos x|＝sin x－cos x， ∴sin x≥cos x.

π5π

结合三角函数图象得，2kπ＋4≤x≤2kπ＋4(k∈Z)，此即为所求x的取值范围.

课堂达标

1.下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的等差数列也是等比数列； ③三角形的内角和是180°. A.0

B.1

C.2

D.3

解析 ①③是全称命题. 答案 C

2.下列命题中，不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数 解析 D选项是特称命题. 答案 D

3.下列特称命题是假命题的是( ) A.存在x∈Q，使2x－x3＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数

?1?23

解析 对于任意的x∈R，x＋x＋1＝?x＋2?＋4>0恒成立.

??

2

答案 B

4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0 π

B.存在实数x0，使sin x0＝2 C.对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 解析 含有存在量词的命题只有A，B. 当α0＝45°时，tan(90°－α0)＝tan 45°＝tan α0； π

而sin x0≤1，所以sin x0＝2不成立，故选A. 答案 A

π??

5.已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：?x∈?0，2?，cos x<1，则下列

??命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∨(綈q) C.(綈p)∧q D.p∧(綈q)

解析 当x0<0时，2x0<3x0不成立， ∴p为假命题，綈p为真命题，

π??

0，而x∈?2?时，cos x<1成立，∴q为真命题. ??答案 C

课堂小结

1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.

2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.

3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻