电磁场与电磁波（第四版）谢处方 - 课后答案

电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案

第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez C?ex5?ez2

求：（1）aA；（2）A?B；（3）AgB；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C；

（7）Ag(B?C)和(A?B)g（8）(A?B)?C和A?(B?C)。 C；

解 （1）aA?ex?ey2?ez3A123 ??ex?ey?ez222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AgB?(ex?ey2?ez3)g(?ey4?ez)?－11

AgB?111111，得 ?AB?cos?1(????)?135.5o

AB14?17238238AgB11（5）A在B上的分量 AB?Acos?AB? ??B17exeyez（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 （4）由 cos?AB?50?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20

50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 Ag(B?C)?(ex?ey2?ez3)g(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)gC?(?ex10?ey1?ez4)g(ex5?ez2)??42

exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

50?2exey5ez20A?(B?C)?182?3?ex55?ey44?ez11

1.2 三角形的三个顶点为P、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 1(0,1,?2) （1）判断?PP是否为一直角三角形； 12P3 （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)的位置矢量分别为 1(0,1,?2) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5

则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3?r2?ex2?ey?ez8，

R31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12gR23?(ex4?ez)g(ex2?ey?ez8)?0 故?PP为一直角三角形。 12P3 （2）三角形的面积 S?1R12?R23?1R12?R23?117?69?17.13

222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3， 则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

exgRP?P5)?cos?1()?32.31o RP?P35egR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47o

RP?P35egR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73o

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在B上的分量。

?x?cos?1(解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos?1(A在B上的分量为 AB?AgAgB?31)?cos?1()?131o AB29?77B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。

exeyez解 A?B?23?4??ex13?ey22?ez10

?6?41(A?B)gC25????14.43 C31.6 证明：如果AgB?AgC和A?B?A?C，则B?C； 解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即

(AgB)A?(AgA)B?(AgC)A?(AgA)C

由于AgB?AgC，于是得到 (AgA)B?(AgA)C 故 B?C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AgX而P?A?X，p和P已知，试求X。

解 由P?A?X，有

A?P?A?(A?X)?(AgX)A?(AgA)X?pA?(AgA)X

故得 X?pA?A?P

AgA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2?,3)定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标

3中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 x?4cos(2?3)??2、y?4sin(2?3)?23、z?3 所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1o、??2?3?120o 故该点的球坐标为(5,53.1o,120o) 1.9 用球坐标表示的场E?er25，

r2（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；

（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故

E?er251 ?r221?332

Ex?exgE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以

2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EgB)?cos?1(?19(102))?153.6o

EgB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1

R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

R1gR2? R1R2 sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?

sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2?

得到 cos??sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 解 蜒?(er3sin?)gdS??(er3sin?)gerdS?SS2???(e3sin?)gdS的值。

rS2??d??3sin??500sin?d??75?2

1.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散度定理。 解 在圆柱坐标系中 ?gA?1?(rr2)??(2z)?3r?2

r?r?z所以 ??gAd???dz?d??(3r?2)rdr?1200?

?00042?5又

蜒?AgdS??(errSS42?002?ez2z)g(erdSr?e?dS??ezdSz)?

52? ??5?5d?dz???2?4rdrd??1200?

200故有

?gAd??1200???AgdS ???S1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?gA对中心在原点的一个单位立方

体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?gA????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?gA对中心在原点的一个单位立方体的积分为

1212121 2222?gAd??(2x?2xy?72xyz)dxdydz?????24??12?12?12 （3）A对此立方体表面的积分

1212AgdS?()dydz?(?)dydz? ??????22S?12?12?12?1212121212 ??2x2(1)2dxdz???2x2(?1)2dxdz?

22?12?12?12?12 ??24xy(1)3dxdy???24x2y2(?1)3dxdy?1 2224?12?12?12?12221212121212121212故有 ??gAd??1?AgdS ??24S?1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?gr对球体积的积分。

解

2?蜒?rgdS?S?rgerdS?S23 d?aasin?d??4?a??00?又在球坐标系中，?gr?1?(r2r)?3，所以

r2?r2??a???grd??2223 3rsin?drd?d??4?a???0001.15 求矢量A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的

两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解

22??Agdl??xdx??xdx??2C000dy??0dy?8

02exey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22xzz又 ??A???xx所以

???AgdS???(e2yz?e2x)geS00dxdy?8

故有

??Agdl?8????AgdS

CS1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。 解 蜒?Agdl?CC?xdx?xydy?22??a4

?(?acos?sin??acos?sin?)d??242204?Ax?a4 222??AgdS??ez(?)gezdS??ydS???rsin?rd?dr???x?y4SSS001.17 证明：（1）?gR?3；（2）??R?0；（3）?(AgR)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。

?Aya2?解 （1）?gR??x??y??z?3

?x?y?z