第7章 组合变形杆的强度

134 第七章 组合变形杆的强度

表7-1列出了几种常见簿壁截面剪心的位置。

表7-1几种常见截面的剪心位置

7.5 复合梁的强度

由两种或两种以上材料所构成的梁，称为复合梁（组合梁）。例如，用两种不同金属组成的双金属梁(图7.11a)，由面板与芯材组成的夹层梁(图7.12b)，以及钢筋混凝土梁等，均为复合梁。本节以两种材料组成的矩形截面梁为例，研究其在对称弯曲时的应力。

第七章 组合变形杆的强度

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图7.11 图7.12

一、复合梁的基本方程

考虑图7.11a所示复合梁，材料1与材料2的弹性模量分别为E1与E2，相应的横截面积分别为A1与A2，并分别简称为截面1与截面2。梁在纵向对称面内承受纯弯曲，横截面上的为弯矩M。当复合梁各部分连接紧密，在弯曲变形过程中无相对错动时，复合梁为一整体梁。试验表明，平面假设与单向受力假设仍然成立。

首先研究复合梁的变形。为此，沿截面对称轴与中性轴分别建立y轴和z轴，并用1/?表示中性层的曲率，则根据平面假设，横截面上y处的纵向正应变沿截面高度线性变化(图7.12b)

??y?

当梁的材料处于线弹性范围，由单向应力状态的胡克定律，截面1和2上的弯曲正应力分别为

E1y???? (a) E2y???2?????1?即弯曲正应力沿截面1与截面2分区线性变化(图7.12c)，而在该二截面的交界处，正应力则发生突变。这是因为复合梁已非匀质，虽然其纵向正应变沿截面高度连续变化，但在不同材料的交界处，弯曲正应力必然发生突变。

由于横截面上不存在轴力、仅存在弯矩M，故静力学关系为

?A1?1dA1???2dA2?FN?0 (b)

A2?将式(a)代入式(b)，得

A1y?1dA1??y?2dA2?M (c)

A2E1?ydA1?E2?ydA2?0 (7-10)

A1A2

136 第七章 组合变形杆的强度

由上式即可确定中性轴的位置。将式(a)代入式(c)，得

E1??A1y2dA1?E1??A2y2dA2?M

由此得中性层的曲率为

1??M (7-11)

E1I1?E2I2式中，I1和I2分别是截面1和2对中性轴z的惯性矩。

最后，将上式代入式(b)，于是得截面1和2上的弯曲正应力分别为

ME1y?E1I1?E2I2??? (7-12)

ME2y??2?E1I1?E2I2???1?二、转换截面法

转换截面法是以式(7-10)和 (7-12)为依据，将多种材料构成的截面，转换为单一材料的等效截面，然后采用分析匀质材料梁的方法进行求解。以例题讨论之。

例7.9 一上部为木材、下部为钢板的复合梁，其横截面如图a所示，在纵向对称面内（xy平面）作用有正值弯矩M?30kN?m。若木材和钢的弹性模量分别为E1?10GPa、E2?200GPa，试用转换截面法求木材和钢板

横截面上的最大正应力。

例7.9图

解：选钢（材料2）为基本材料，将式(7-10)

和(7-11)改写为

E1E21?A1ydA1??ydA2??y(ndA1)??ydA2?0 (7-13)

A2A1A2??M?E1I1?E2I2M?E?E2?1I1?I2??E2??MM (7-14) ?E2(nI1?I2)E2Iz式中，n?E1/E2?10/200?0.05，称为模量比；Iz?nI1?I2。由以上可知，实际上是将材料2（钢）所构成的截面2保持不变，而将截面1的宽度乘以n，即将实际截面变换成仅由材料2所构成的截面(图b)，显然，该截面的水平形心轴与实际截面的中性轴重合，对中性轴z的惯性矩等于Iz，而其弯曲刚度则为E2Iz。可见，在中性轴位置与弯曲刚度方面，图b所示截面与实际截面完全等效，因而称其为实际截面的等效截面或相当截面。

第七章 组合变形杆的强度

137 确定等效截面的中性轴（形心坐标）、及对该轴的惯性矩

(250?n?150)?y?y1?25010???(10?150)??250??22??mm=0.183m

(250?n?150)?(10?150)?n?150?2503Iz???(n?150?250)?(183?125)2?12??150?103?(150?10)?(183?255)2?mm4?2.39?10?5m412?

中性轴位置与惯性矩Iz确定后，由式(7-12)和(7-14)即可求出截面1（木材）和2（钢板）上的最大弯曲正应力

M30?103?ny1?0.05??0.183?11.5MPa

Iz2.39?10?5M30?103?y2??(0.260?0.183)?96.7MPa Iz2.39?10?5?1,max?2,max图c是横截面上的正应力分布。基本材料的选择是任意的。若选择材料1为基本材料，而将截面2进行转换，所得结果必相同。

思 考 题

7-1 矩形截面杆处于双向弯曲和拉伸的组合变形时，危险点位于何处？

7-2 圆轴处于弯扭组合变形时，横截面上存在哪些内力？危险点处于什么样的应力状态？ 7-3 圆轴在My，Mz的共同作用下，最大弯曲正应力发生在横截面上的哪一点？ 7-4 分析偏心拉伸与压缩时，横截面上的y、z轴应如何选取？ 7-5 截面核心与载荷有什么样的关系？

习 题

7-1 图示用绳索起吊钢质贮气罐，罐长4m，直径1m，壁厚6mm，内压力0.36MPa。设罐体沿轴线的重度（含气体）为1.5kN/m，[?]?35MPa。试按第三和第四强度理论对A、B两点进行强度校核。