八年级数学下学期期中试卷（含解析） 新人教版23

24．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求证：DE∥FC．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．

【分析】首先由四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可证得△BCF≌△DCE，再延长BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的对应角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，则可得BF⊥DE，再根据由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的长，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的长，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，进而证明DE∥FC． 【解答】证明：延长BF交DE于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，BC=CD， ∴∠BCF+∠FCD=90°，

∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE， ∴∠ECD+∠FCD=90°， ∴∠BCF=∠ECD． 在△BCF和△DCE中，

，

∴△BCF≌△DCE（SAS）， 延长BF交DE于H， ∴BF=DE，∠CBF=∠CDE， ∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2， ∴∠2+∠CDE=90°， ∴∠DHF=90°， ∴BF⊥DE，

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在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°， ∴BF=

=4．

∵△BCF≌△DCE，

∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°． ∴DE∥FC．

【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

25．阅读下面问题：

；

；

．

试求：（1）（2）（3）计算：

【考点】分母有理化．

【分析】（1）（2）仿照题目所给的分母有理化的方法进行计算； （3）将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律． 【解答】解：（1）==

的值；

（n为正整数）的值．

．

=

﹣

；

22

（2）==

﹣

；

=

（3）原式==

﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣

﹣1=10﹣1=9．

【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．

26．（10分）（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．

【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．

（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．

（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形． 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案 【解答】（1）证明：如图1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF，

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∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF．

（2）解：连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠BAF=45°， ∵∠DCB=90°，DF∥AB， ∴∠DFA=45°，∠ECF=90° ∴△ECF为等腰直角三角形， ∵G为EF中点， ∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC， ∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°， ∴∠BEG=∠DCG=135° 在△BEG与△DCG中， ∵

，

∴△BEG≌△DCG， ∴BG=DG， ∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°， 又∵∠DGC=∠BGA， ∴∠BGA+∠DGA=90°， ∴△DGB为等腰直角三角形，

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