第一节 任意角和弧度制

任意角和弧度制

一、任意角

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，

就形成了角?，记作：角?或?? 可以简记成?。 注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”

（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴

（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 4、常用的角的集合表示方法 （1）、终边相同的角：

①终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k?Z)个周角的和。 ②所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 S??|????k?360,k?Z

即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和

注意：1、k?Z

2、?是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

（2）、终边在坐标轴上的点：

?????②终边在y轴上的角的集合：??|??k?180?90,k?Z? ③终边在坐标轴上的角的集合：??|??k?90,k?Z?

①终边在x轴上的角的集合：?|??k?180?,k?Z

???（3）、终边共线且反向的角：

??②终边在y??x轴上的角的集合：??|??k?180?45,k?Z?

??①终边在y = x轴上的角的集合：?|??k?180??45?,k?Z （4）、终边互相对称的角：

①若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?? ②若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?180??? ③若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180?k?? ④角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360?k???90? （5）、象限角的范围

??②第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

③第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? ④第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k???

①第一象限角的集合为?k?360???k?360?90,k??

???????????????二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

定义：长度等于圆的半径的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 弧度制：另一种度量角的单位制，它的单位是rad ，读作弧度

如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ，周角=2?rad

注意：（1）、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

（2）、角?的弧度数的绝对值 ??o B r 1rad A

o C

l=2r 2rad

r A

l（l为弧长，r为半径） r（3）、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 （4）、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。 2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad

∴ 1?=

?180rad?0.01745rad

??180??? 1rad????57.30?5718'

???注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 三、弧长公式和扇形面积公式

若扇形的圆心角为??为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则

??11l?r?，C?2r?l，S?lr??r2．

22四、些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 弧度 角度 弧度 0° 210° 30° 225° 45° 240° 60° 270° 90° 300° 120° 315° 135° 330° 150° 360° 180° 任意角和弧度制练习

一、选择题

1、若α＝－3，则角α的终边在（ ） A. 第I象限

B. 第II象限 C. 第III象限

D. 第IV象限 D. 第IV象限

2、若α是第四象限角，则π－α一定在（ ）

A. 第I象限 B. 第II象限 C. 第III象限 3、已知α为第III象限角，则

?2所在象限为（ ）

D. 第I、IV象限

A. 第I、III象限 B. 第II、IV象限 C. 第II、III象限

134?4、3所在象限为（ ） 5、下列终边相同的是（ ）.

?A. 第I象限 B. 第II象限 C. 第III象限 D. 第IV象限

?4A. C.

4?k? 与

??2k?,k?Z B.

?2???2k???，k??3与 3

k?2?与 2?k?,k?Z D. ?2k?1??与 3k?,k?Z

??????A??x|x?k??,k?Z?B??x|x?2k??,k?Z?22??与 ??之间的关系为（ ）6、角的集合

A. A?B

B. A?B

C. A=B D. 不确定

127、半径为2，圆心角为1的扇形面积为（ ） A. 1 二、填空题

8、67°30＇化成弧度为 ；

9、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 . 三、解答题

B. 2

C. 4

D.

k?(0??2,k?Z)10. 将下列各角化为2的形式，并判断其所在象限。

????19???（1）3； （2）?315； （3）?1485.

11、已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A∩B.

12、现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.

13、在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）－120°；

【试题答案】 一、选择题

题号 答案 二、填空题

1 C 2 C 3 B 4 B 5 B 6 C 7 B

（2）640°；

（3）－950°12＇.

3?88、；

9、I；7－2π； 三、解答题

19????6????32??3310、解：（1）3，所以，此角为第一象限角；

7????315??????2??(?1)2???444（2），所以此角为第一象限角； 337???1485?????10??44（3），所以此角为第四象限角.

11、A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝

11?12、24

13、解：（1）－120°=240°+（－1）×360°，∴与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角；

（2）640°=280°+360°，∴与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角； （3）－950°12＇=129°48＇+（－3）×360°，∴与－950°12＇角终边相同的角是129°48＇角，它是第二象限角.