2018届高三数学文高考二轮复习课时作业 第一部分 专题一 第六讲 导数应用二 含解析

限时规范训练

1

1．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，a∈R.

2

(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．

f?x2?－f?x1?

(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，

x2－x1求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

?x－2??x＋a?12a

解析：(1)函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝(x>0)．当a

2xx?x－2??x＋1?

＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，则所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x

x＋2y－3＝0.

(2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，

x2－x1

1

令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln x－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

2

2a1

则g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，则a≤－.

x21

－∞，－?. 故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为?2??2．已知函数f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)． (1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)若a＝0，f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x. ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

(2)由题意知f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．

①若a＝0，则f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合题意． ②若a≠0，∵x>1，∴只需

?x－1??ax－a＋1?f?x?

＝ln x－<0在(1，＋∞)上恒成立． xx

?x－1??ax－a＋1?

记h(x)＝ln x－，x∈(1，＋∞)，

x

ax2－x－a＋1?x－1??ax＋a－1?

则h′(x)＝－＝－，x∈(1，＋∞)． 2xx2由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝

1－a

. a

1－a

若a<0，则x2＝<1＝x1，

a

∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)为增函数， ∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．

1－a?1

若00，h(x)为增函数，

2a??∴h(x)>h(1)＝0，不合题意，

1

若a≥，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，

2∴h(x)

1

综上所述，若x>1时，f(x)<0恒成立，则a≥. 2

3．(2016·长沙一模)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln (16≤x≤24)．当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格． (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．

(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？ 解析：(1)由p＝q得 2(x＋4t－14)＝24＋8ln

20

(16≤x≤24，t≥0)． x

20x

13120

t＝－x＋ln (16≤x≤24)．

24x11

∵t′＝－－<0，∴t是x的减函数．

4x∴tmin＝

1312012015－×24＋ln ＝＋ln ＝＋ln ； 242422426

1312055

tmax＝－×16＋ln ＝＋ln ，

2416241555

＋ln ，＋ln ?. ∴值域为?624??2

13120

(2)由(1)知t＝－x＋ln (16≤x≤24)．

24x13120

而x＝20时，t＝－×20＋ln ＝1.5(元/千克)，

2420

∵t是x的减函数，欲使x≤20，必须t≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．

4．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x

∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

f?x?

(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．

x

解析：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， ∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4且f(1)＝－4a， ∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.

x2－2x－33

(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，

xx34?x－3??x－1?

∴g′(x)＝1＋2－＝.

xxx2x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：

x g′(x) g(x) (0,1) ＋ 单调增加 1 0 极大值 (1,3) － 单调减少 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ 单调增加 当0

又g(e5)＝e5－5－20－2>25－1－22＝9>0，

e故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．

5．设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2. b

解析：(1)f′(x)＝1＋2ax＋，

x

???f?1?＝0，?1＋a＝0，

由条件知?即?

??f′?1?＝2，1＋2a＋b＝2.??

∴a＝－1，b＝3.

(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.

设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x， ?x－1??2x＋3?3

则g′(x)＝－1－2x＋＝－.

xx当00，∴g(x)单调递增； 当x>1时，g′(x)<0，∴g(x)单调递减．

而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0. ∴f(x)≤2x－2.

6．(2016·河南八市联考)已知函数f(x)＝(－x2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数． (1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线；

11

(2)若方程f(x)＝x3＋x2＋m有3个不同的根，求实数m的取值范围．

32解析：(1)因为f(x)＝(－x2＋x－1)ex，

所以f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex. 所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 k＝f′(1)＝－2e. 又f(1)＝－e，

所以所求切线方程为y＋e＝－2e(x－1)，即2ex＋y－e＝0. (2)因为f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex， 当x<－1或x>0时，f′(x)<0； 当－10，

所以f(x)＝(－x2＋x－1)ex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，

3

所以f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，在x＝0处取得极大值f(0)＝－1.

e11

令g(x)＝x3＋x2＋m，得g′(x)＝x2＋x.

32当x<－1或x>0时，g′(x)>0； 当－1

所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 1

故g(x)在x＝－1处取得极大值g(－1)＝＋m，在x＝0处取得极小值g(0)＝m.

611

因为方程f(x)＝x3＋x2＋m有3个不同的根，

32即函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点，

???－e<6＋m?f?－1?

?所以，即??f?0?>g?0???

31

?－1>m

.

31

所以－－

e6

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