鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积教案含解析

＝4＋2×(－6)＋3＝13， 所以|a＋b|＝13.

2π→→

(3)因为AB与BC的夹角θ＝，

32ππ

所以∠ABC＝π－＝.

33→→

又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3， 1→→

所以S△ABC＝|AB||BC|·sin∠ABC

213

＝×4×3×＝33. 22

→→→

12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求PA·(PB＋PC)的最小值． 解 方法一 设BC的中点为D，AD的中点为E，

22

→→→则有PB＋PC＝2PD， →→→→→则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD →→→→＝2(PE＋EA)·(PE－EA) →2→2

＝2(PE－EA)． →2?3?23而AE＝??＝，

?2?4

→2

当P与E重合时，PE有最小值0， →→→

故此时PA·(PB＋PC)取最小值， 33→2

最小值为－2EA＝－2×＝－.

42

方法二 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，

13

则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，3)， 设P(x，y)，取BC的中点D， 3??1

则D?，?.

?22?→

PA·(PB＋PC)＝2PA·PD

3??1

＝2(－1－x，－y)·?－x，－y?

2?2?3?????1?＝2??x＋1?·?x－?＋y·?y－??

?2?2????3?23???1?2?

＝2??x＋?＋?y－?－?.

4?4???4??13

因此，当x＝－，y＝时，

44

→→→→

→

PA·(PB＋PC)取最小值，为2×?－?＝－. 4

→→→→→

13．(2018·南宁摸底)已知O是△ABC内部一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( ) A.3

33 2

1B. 22D. 3

→→

?3???

32

C.

答案 A

→→→

解析 ∵OA＋OB＋OC＝0， →→→∴OA＋OB＝－OC， ∴O为三角形的重心，

1

∴△OBC的面积为△ABC面积的，

3→→

∵AB·AC＝2，

→→

∴|AB||AC|cos∠BAC＝2， →→

∵∠BAC＝60°，∴|AB||AC|＝4， 1→→

△ABC的面积为|AB||AC|sin∠BAC＝3，

2

14

∴△OBC的面积为3

，故选A. 3

→→→

14．(2019·衡阳模拟)在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－3，点G是△ABC的重心，则|AG|的最小值是( ) 2A. 3C.2 3

B.6 3

5D. 3

答案 B

解析 设BC的中点为D， 因为点G是△ABC的重心，

→2→21→→1→→所以AG＝AD＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，

3323→→

再令|AB|＝c，|AC|＝b，

→→

则AB·AC＝bccos120°＝－3，所以bc＝6， →21→2→→→2

所以|AG|＝(|AB|＋2AB·AC＋|AC|)

912212＝(c＋b－6)≥(2bc－6)＝， 9936→

所以|AG|≥，

3

当且仅当b＝c＝6时取等号，故选B.

→→

15.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝2，点E为AB的中点，若CE·BD→→

＝－2，则向量CD在向量BC上的投影为________．

1

答案 － 2

解析 如图，以BC，BA为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(2,0)，B(0,0)，A(0，2)，

E?0，

??2??. 2?

15

设AD＝a，则D(a，2)，

2?→→?

则CE＝?－2，?，BD＝(a，2)，

2??

3→?1→→?∴CE·BD＝－2a＋1＝－2，a＝，CD＝?－，2?，

2?2?→→?1?∴CD·BC＝?－，2?·(2,0)＝－1，

?2?1→→

∴CD在BC方向上的投影是－.

2

16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑→→

动，M为AB的中点，求OA·OM的最大值．

解 设∠OBC＝θ，

则B(2cosθ，0)，C(0，2sinθ

π

)，

π

??????A?2cosθ－2cos?θ＋?，2sin?θ＋??，

33??

?

?

?

??

??????M?2cosθ－cos?θ＋?，sin?θ＋??， 33

?

?

?

??

π???π??π?π?→→?????OA·OM＝?2cosθ－2cos?θ＋??×?2cosθ－cos?θ＋??＋2sin?θ＋?×sin?θ＋?

3???3??3?3??????π?π??22?＝4cosθ＋2cos?θ＋?－6cosθcos?θ＋?＋ 3?3???π?2?2sin?θ＋?

3??

π??2

＝2＋4cosθ－6cosθcos?θ＋?

3??3?1?2

＝2＋4cosθ－6cosθ?cosθ－sinθ?

2?2?＝2＋cosθ＋33sinθcosθ 5133

＝＋cos2θ＋sin2θ 222

16

2

ππ

53??

＝＋7sin(2θ＋φ)?其中tanφ＝?. 29??5→→

∴OA·OM的最大值为＋7.

2

17