专题八 二次函数与几何图形结合题

2013年陕西中考数学专题训练

专题八 二次函数与几何图形结合题

陕西中考第24题总体的特征：试题的背景往往是把三角形、四边形或者学生熟悉的图形放在坐标系中，结合有关性质以及图形之间的相互关系构建抛物线，结合二次函数的性质考查学生解决点的存在性问题等能力.

历年真题

1．（2012?陕西）如果一条抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 _________ 三角形；

（2）若抛物线y=﹣x+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

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（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

2.（2012?陕西副题）

如图，一条抛物线y?ax2?bx(a?0)的顶点坐标为（2，），正方形ABCD的边AB落在x轴的正半轴上，顶点C、D在这条抛物线上。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求正方形ABCD的边长.

3．（2011?陕西）如图，二次函数

的图象经过△AOB的三个顶点，其中

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A（﹣1，m），B（n，n） （1）求A、B的坐标；

（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C有几个？ ②能否将抛物线

平移后经过A、C两点？若能，

求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．

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4. （2011?陕西副题）已知抛物线y?ax?bx?1经过A(1,0), B(-1,3)两点. (1)求a,b的值；

（2）以线段AB为边作正方形ABB′A′,能否将已知抛物线平移，使其经过A′B′两点？若能，求出平移后经过A′B′两点的抛物线解析式；若不能，请说明理由.

5．(2010?陕西)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(﹣1，0),B(3，0),C(0，﹣1)三点． （1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标． 6．（2010?陕西副题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°, ∠ACB=30°,点A的坐标为（0，3）. (1) 求点B和点C的坐标;

(2) 求经过A,B,C三点的抛物线的表达式;

(3)设点M是(2)中抛物线的顶点,P,Q是抛物线上的两点,要使△MPQ为等边三角形,求点P,Q的坐标.

7．(2009?陕西)如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(﹣1，2). （1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO．

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28．(2009?陕西副题)如图,一条抛物线经过原点,且顶点B的坐标(1，﹣1)． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设该抛物线与x轴正半轴的交点为A，求证：△OBA为等腰直角三角形；

（3）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，请你在抛物线位于x轴上方的图象上求两点E、F，使△ECF为等腰直角三角形，且∠ECF=90°．

9．（2008?陕西）如图，矩形ABCD的长，宽分别为

和1，且OB=1，点E（，2），连接AE，

ED．

（1）求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；

（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；

（3）经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．

10. (2008?陕西副题) 如图，在Rt△ABC中，∠A=90，

。

∠ABC=60。，OB=1，OC=5.

（1）求经过B，A，C三点的抛物线的表达式； （2）作出△ABC关于y轴对称的?A?B?C?；

（3）经过B?,A?,C?三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？若能，怎样得到？若不能，请说明理由.

11．（2007?陕西）如图，在直角梯形OBCD中，OB=8，BC=1，CD=10． （1）求C，D两点的坐标；

（2）若线段OB上存在点P，使PD⊥PC，求过D，P，C三点的抛物线的表达式．

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12. (2007?陕西副题) 如图，以D（1，4）为顶点的抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴

交于点A、B.

（1）求该抛物线的表达式； （2）求点A、B的坐标；

（3）试判断△AOC与△CDB是否相似，并说明理由.

13．（2006?陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形木板；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形木板（如图①）．王师傅想将这两块板材裁成两块全等的矩形板材．他将两块板材叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板材的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．

（1）求FC的长；

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（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm）最大？最大面积是多少？

（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长． 14．（2005?陕西）如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD． （1）求C、D两点的坐标；

（2）求经过C、D、B三点的抛物线的解析式；

（3）设（2）中的抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断△PMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．

尖端押题

15. 如图，若一条抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线内一点，当以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形时，则称该四边形为抛物线的“准四边形”.

(1)若抛物线y?ax?bx?c经过点A(1,0),B(4,0),C(0,2),求此抛物线的解析式；

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