北邮概率论与随机过程—学第学期期末A卷

北京邮电大学2010——2011学年第2 学期

3学时《概率论与随机过程》期末考试（A）

一． 填空题

1.设随机事件A,B满足P(AB)?P(A B),且P(A)?p, 则P(B)?1-p 2. 设每次实验中事件A出现的概率为p,在三次独立重复试验中,A至少出现一次的概率

为

19, 则p=1/3 271?1e 23. 随机变量X服从参数为1的泊松分布?(1),则P(X?E(X2))=

4. 设随机变量X服从正态分布N(10,0.022)，记?(x)??x??1?u2edu，且已知2?2?(2.5)?0.9938，则P(x?(9.95,10.05))? ０．９８７６

?20?5. 已知随机变量X服从均匀分布U(1,6)，则矩阵A??0?X?0?1?的概率为 ４／５ 6. 已知随机变量X的密度函数为

0??1?的特征值全为实根0??f(x)?1?|x|e,???x???，则2P(0?X?1?e?1 )?1)(127. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则y?0时，Y??2ln(F(X))的概率密度

y1?2函数fY(y)＝e

28. 已知随机变量X服从均值为１的指数分布，则Y?min{X,2}的分布函数F(y)＝

x?0,?0,??x?1?e,0?x?2, ?1,x?2.?9. 已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布(1,2,12,22,0.5)，则Z?2X?Y?1的概率密

度函数f(z)＝1e26??(x?5)224 ?2e?(x?2y),x?0,y?0,10. 设X,Y的联合概率密度为f(x,y)??, 则概率

其它，?0,P(X?1,Y??12e)=(1?e?4)

11. 设随机过程X(t)?X?Yt?Zt2, 其中X,Y,Z是相互独立的随机变量, 且均值都为

零, 方差都为1, 则相关函数RX(s,t)=1?st?st 12. 设

22{W(t),0?t???}是参数为

?2

的维纳过程, 则

E[(W(3)?W(1))(W(4)?W(1))]=2?2

13. 设平稳高斯过程{X(t).t?0}的均值为零, 相关函数为RX(?)?定的t0, X(t0)的概率密度函数f(x)=

1?2|?|e, 则对任意固42?2x2e 2?14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{Xn}的状态空间是{0,1,2},平稳分布为

???,,?, 若P(X0?0)?,P(X0?1)?,P(X0?2)?D(X100)=11/16 15. 设{X(t),???t???}为平稳随机过程，功率谱密度为SX(?)?率为1

?111??244?12141, 则方差42,则其平均功

1??2二. （１5分）

设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布U(40,100), 且顾

客的消费相互独立. 求:

(1)该餐厅的日营业额的期望和方差; (2)平均每天有多少位顾客消费额超过50元;

(3)用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设Xi,i?1,2,...,300是第i位顾客的消费额, 则由题意,

?1?,40?x?100, Xi?f(x)??60?其它，?0,设

X

表示该餐厅的日消费额, 则X??X.ii?1300 因为 E(Xi)?70, 则

DY?300?DX1?300(602/12)?90000.EX?21000

(5’)

(2 ) 设Y是消费额超过50元的顾客数. 则Y?B(300,P(X1?50))?B(300,5/6), 所以

EY?300?(5/6)?250. (5’)

(3) 由中心极限定理得

P(X1?X2?...?X300?21750)?X1?X2?...?X300?21000?P???D(X?X?...?X)12300??1??(2.5)?0.0062.?21750?21000? (5’) D(X1?X2?...?X300)??三．（１5分）

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

?k?x(1?y), x?0,y?0,?ef(x,y)??3求(1)系数k; (2)边缘概率密度fX?(x),fY(y)，并问其他X.,Y是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度?0, fY|X(y|x)，fX|Y(x|y).

解.(1) 1?x?0,Y?0??f(x,y)dxdy?k?3 (3’)

?????x(1?y)?dy?e?x,x?0,??0xe f(x,y)dy???0,x?0,? (2) fX(x)????fY(y)??????1????x(1?y)xedx?,??02(1?y)f(x,y)dx???0,?y?0,y?0, (6’)

由于f(x,y)?fX(x)fY(y),所以不独立.

f(x,y)xe?x(1?y) (3) 当x?0时, fY|X(y|x)???xe?xy, ?xfX(x)ef(x,y)xe?x(1?y) 当y?0时, fX|Y(x|y)???(1?y)2xe?x(1?y) (6’)

1fY(y)(1?y)2四．（１5分）

设齐次马氏链{Xn,n?0}的状态空间为E?{0,1,2}，一步转移概率矩阵为

?1?2?1P???2??0??12012?0??1?， 2?1??2??1 3 初始分布为P{X0?0}?P{X0?1}?P{X0?2}?(1) 求 P{X1?1,X2?1,X4?2}; (2) 求X0,X2的相关系数?X0X2;

(3)证明马氏链{Xn,n?0}具有遍历性，并求其极限分布．