讲义函数单调性

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一对一讲义

教师 学生 日期 星期 时段

课题 函数的基本性质 单调性与最大（小）值（第一课时） 学习目标与分析 理解增函数、减函数的概念；掌握判断某些函数增减性的方法 学习重点 学习方法 函数单调性的概念与函数单调性的判断和证明 理解记忆,做题巩固 学习内容与过程 教师分析与批改 地址：渭城西路阳光小区C1-1-701 电话：029-38191794 38191894

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一、复习回顾 1.函数有哪几个要素？ 2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质 二·1、单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1?x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 三·1、实例分析 例1．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 证明：设任意x1、x2∈R，且x1

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b.计算f(x1)- f(x2)至最简； c.判断上述差的符号； d.下结论。 四·1、课堂练习 二·2延伸探索函数的单调性与最值 通过观察二次函数y?x和y??x的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题） 1．函数最大值与最小值的含义 一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x?I，都有f(x)?M； （2）存在x0?I，使得f(x0)?M。 那么，我们称M是函数y?f(x)的最大值. 思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y?f(x)的最小值吗？ 2．二次函数在给定区间上的最值 对二次函数y?ax?bx?c(a?0)来说，若给定区间是(??,??)，则当a?0时，函4ac?b4a2222数有最小值是，当a?0时，函数有最大值是4ac?b4a2；若给定区间是[a,b]，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。 三．2例题分析 例2．求函数y?2x?1在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第37页例4）。 分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。 变式：若区间为[?6,?2]呢？ 四·2、课堂练习：求函数y?x?1在下列各区间上的最值： （1）(??,??) （2）[1，4] （3）[?6,?2] （4）[?2,2] （5）[?2,4] 二·3延伸探索函数的单调性与导数 1、 预备知识：函数的求导法则。 2地址：渭城西路阳光小区C1-1-701 电话：029-38191794 38191894

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在某个区间（a,b）内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减。如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间上是常数函数。 注：函数y?f(x)在（a,b）内单调递增，则f?(x)?0，f?(x)?0是y?f(x)在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。 2、函数的极值与导数 （1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 一般地，当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，判断 f(x0) 是极大（小）值的方法是： （1）如果在 x0附近的左侧 f’(x)>0 ，右侧f’(x) <0 ，那么 f(x0) 是极大值． （1）如果在x0附近的左侧 f’(x) <0 ，右侧f’(x) >0 ，那么 f(x0) 是极小值． 注：导数为0的点不一定是极值点 3、函数的最值与导数 函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y?f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 相关步骤链接 1、求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ①确定函数f(x)的定义域; ②求f’(x) ，令f’(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根； ③把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。 ④确定f’(x)在各个开区间内的符号，根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f’(x)>0（或f’(x)<0）直接得到单调递增（或递减）区间。 2、证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤 地址：渭城西路阳光小区C1-1-701 电话：029-38191794 38191894