几何证明中的解题策略

几何证明中的解题策略

解题是数学学习的核心内容.是真正发生数学教育的关键环节，解题是掌握数学，学会“数学地思维”的基本途径.概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动，数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。

对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段的思维过程实质可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。

第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。要充分理解题意，把问题从多余的叙述过程中解脱出来，并用数学语言进行清晰的表述，对问题进行剖析，明确哪些是问题给出的条件，哪些是解题的目标。把问题置于相关内容的数学知识背景之中，发现哪些已有知识有可能利于建立起已知和未知间的联系。

第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。

第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。

第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 就探讨解题的思维过程，我们可以从一个初中的例子得出说明．

定理 等腰三角形的两个底角相等． 已知 在△ABC中，AB=AC. 求证 ∠B=∠C．

分析 欲证两个角相等，根据所学过的知识，我们可以设想其为全等三角形的对应角(全等法的应用)，再根据等腰三角形的特征，又可以将等腰三角形拿起来、作一个空中的翻转，使其与原来的位置重合(这正是全等形的定义，△ABC≌△ACB)，从而∠B与∠C重合(这正是角相等的定义)．下来，只须将这一直觉思路用严密的数学语言表达出来(直觉发现、逻辑证明)．

这里的心理过程，已体现了问题表征对解题方向的确定和解题效率的提高有促进作用. 证明 ：在△ABC与△ACB中，有

AB=AC（已知）， AC=AB（已知）， ∠A=∠A（公共角）， （或BC=CB）（公共边），

得 △ABC≌△ACB (SAS或SSS) 从而 ∠B=∠C

从书写顺序看，这个定理的证明过程可以分成三步（解题过程的结构分析）：

①根据题意画出图形，根据图形写出已知、求证．这是一个认识自己所面临的问题、并对问题进行心理表征的过程．

②寻找解题思路，沟通已知与求证的联系．这调动了全等三角形的知识，数形结合地运用了直觉思维(空中翻转、图形重合、角重合)．这实际上是应用解题策略、并进行资源的提取与分配的过程．

③给出证明．用到了三角形全等的判定定理与性质定理，这是一个严格的推理过程． 这个分析表明，数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用.

可见，数学解题的思维过程是这样一个“三位一体”的工作：

①有用捕捉．即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?通过理解题意找出了3条信息，一条是符号信息AB=AC，由题目直接告诉我们；另两条是由图形显示出来的：两个三角形(△ABC与△ACB)，公共角∠A＝∠A（或公共边BC=CB）．知识经验是有用捕捉的基础．

②有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法，从记忆网络中检索出了3条信息：等式的对称性，全等三角形的判别定理，全等三角形的性质定理．良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．

③有效组合．将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．

注重解题策略的研究已经构成中国解题教学的一个特色，它可以看成是对波利亚现代启发性解题策略研究的继承与发展。

(1)策略是指导行动的方针(战略性的)，同时也是增强效果、提高效率的艺术，它区别于具体的途径或方式(战术性的)．数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针．解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的．

在《数学习题理论》(戴再平，1991年)中提出了八个解题策略：枚举法、模式识别、问题转化、中途点、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反．

在《数学思维论》(任樟辉，1990年)中提出了十个解题策略：以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真．并且认为数学思维策略的研究就是数学解题策略的研究．

在《数学解题学引论》(罗增儒，1997年)中提出了十个解题策略：模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真．

(2)解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁，作为方法，一方面它是用来具体指导解题的方法，另一方面它又是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法．

如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和缩短解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术。