高代复习题12-13下

高等代数2复习 试卷A

第一大题 填空题（每题2分 共16分）

1. t满足 时

二次型f(x1,x2,x3)?t(x12?x22?x32)?4x1x2?4x2x3?4x1x3是正定的. 2. 在

的过渡矩阵为 .

3. 数域P上全体n阶矩阵组成的线性空间是 维的.

?123??0?1?24. 线性变换?在某基下的矩阵为A????, 向量??002???F3中,从基?1?(

基,0),1,0?2,?0),?3?(0到,1(?1,??1?,??2??1?在此

基下的坐标

?1??1为???, 那么?(?)的坐标是 . ?1???5. 设A是正交矩阵，且|A|?0，则|A?1|2013= . 6. 用g(x)?x?2除f(x)?3x4?10x2?5x?4，

商式为 ；余式为 . 7. 设

p(x)与q(x)都是不可约多项式，已知p(x)|q(x)，则

p(x)? . 8. 设?,?正交, ?为正交变换, 那么(?4?(?),5?(?))? .

第二大题 判断题（每题2分，共20分） 1. 所

有

的

n维线性空间均同构.

( )

2. 欧氏空间V的正交变换在任何一组标准正交基下的矩阵都

是

正

交

矩

阵

.

( )

3. 线性空间V的子空间V1和V2的维数分别是3和4，那么V1?V2的维

数

为

7.

( )

4. 同一线性变换在不同基下的矩阵是合同的. ( ) 5.

有

理

数

域

是

最

小

的

数

域

.

6. 任何一个实对称矩阵都合同于单位矩阵

E.

( )

(

7. 欧氏空间V的正交变换的属于不同的特征值的特征向量是彼

此

正

交

的

.

( )

8. 设?1,?2,???,?n是正交向量组，则它们一定线性无关. ( )

9. 两个合同的实对称矩阵一定相似. ( )

10. n维欧氏空间中的不同基的度量矩阵是合同的. ( )

第三大题 计算题（每题10分 共40分）

1.设?1?(1,1,0,1),?2?(1,0,0,1),?3?(1,1,?1,1);?1?(1,2,0,1),?2?(0,1,1,0).由

?i,i?1,2,3生成的子空间记为W1，由?j,j?1,2生成的子空间记为

W2.求W1?W2，W1W2的维数和一组基.

2. W是欧式空间R5的一个子空间。已知W?L(?1,?2,?3)，其中

)

?1?(1,1,1,2,1)，?2?(1,0,0,1,?2)，?3??(2,1,?1,0,2)求W的正交补W?。

3. 已知欧式空间

?2?A??1?2?1102??0，求V??5?V中对于基?1,?2,?3的度量矩阵是

的一组标准正交基。

4. 用可逆的线性替换化二次型

f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x2x3?4x1x3

222为标准形，并写出所用的线性替换. 第四大题 证明题(每题12分 共24分)

1. 设A是n维欧式空间的线性变换，?是单位向量，定义

A????2(?,?)?，证明：（1）?1是A的一个特征值；

（2）A是正交变换，这样的正交变换称为镜面反

射；

（3）A是第二类的。

2. 设

x1?x2?W1与

W2分别是齐次方程组

x1?x2??xn?0 与 上

?xn的解空间，证明则Fn?W1?W2，其中Fn是数域F

n维向量空间。

参考答案A

第一大题 填空题（每题2分，共16分）

?111??6????20?11n1. t?2； 2. ? ； 3. ； 4. 5. -1； ????3?；?001??2????? 6. 3x3?6x2?2x?1 和?6； 7. cq(x),c?0； 8. 0. 第二大题 判断题（每题2分，共20分）

1. √ 2. √ 3. × 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √