2017年中考数学专题复习三角形综合问题

∴P2B=AB=2∴EP2=6+2∴sin∠BEO=∴GP2=3+令y=3+∴x=3， ∴P2（3，3+

， ，

，

， 代入y=

x+3，

），

，0），

综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3（﹣

，2），（﹣3，3﹣

），（3，3+

）．

变式训练4：

（2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．

【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．

【 解析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．

【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵∠BOP=∠AOP=15°， ∴∠AOB=30°， ∵PC∥OB，

∴∠ACP=∠AOB=30°，

∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），

∴PD=PE=2， 故答案是：2．

变式训练5：

（2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．

（1）求证：△ACD∽△BFD；

（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【 解析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明． （2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°， ∴∠DBF=∠DAC， ∴△ACD∽△BFD．

（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90° ∴

=1，

=

=1，即可解决问题．

∴AD=BD， ∵△ACD∽△BFD， ∴

=

=1，

∴BF=AC=3．

变式训练6：

（2016海南）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【专题】应用题；解直角三角形及其应用．

【 解析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可； （2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．

【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°， ∴DE=DC=2米；

（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F， ∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形， 设BF=DF=x米， ∵四边形DEAF为矩形，

∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴BC=BD=

BF=

===米，

x米，DC=4米，

∵∠DCE=30°，∠ACB=60°， ∴∠DCB=90°，

在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x=解得：x=4+

或x=4﹣

，

2

+16，