2017年中考数学专题复习三角形综合问题

【考点】全等三角形的判定与性质．

【 解析】由CD∥BE，可证得∠ACD=∠B，然后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≌△CBE，继而证得结论．

【解答】证明：∵C是线段AB的中点， ∴AC=CB， ∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B， 在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴∠D=∠E． 变式训练3：

（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣

2

，0）

的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x﹣2x﹣3=0的两个根

（1）求线段BC的长度；

（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由； （3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；

（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】三角形综合题．

【 解析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度； （2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC?OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；

（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；

（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．

【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0， ∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1）， ∴BC=4， （2）∵A（﹣∴OA=

，0），B（0，3），C（0，﹣1），

，OB=3，OC=1，

∴OA2=OB?OC， ∵∠AOC=∠BOA=90°， ∴△AOC∽△BOA， ∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠BAC=90°， ∴AC⊥AB；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（﹣

，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣∵DB=DC，

x﹣1，

∴点D在线段BC的垂直平分线上， ∴D的纵坐标为1， ∴把y=1代入y=﹣∴x=﹣2

，

，1）， x﹣1，

∴D的坐标为（﹣2

（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E， 把B（0，3）和D（﹣2∴

，

，1）代入y=mx+n，

解得，

∴直线BD的解析式为：y=令y=0代入y=∴x=﹣3∴E（﹣3∴OE=3

， ，0）， ，

=

， x+3，

x+3，

∴tan∠BEC=

∴∠BEO=30°，

同理可求得：∠ABO=30°， ∴∠ABE=30°， 当PA=AB时，如图1，

此时，∠BEA=∠ABE=30°， ∴EA=AB， ∴P与E重合， ∴P的坐标为（﹣3

，0），

当PA=PB时，如图2， 此时，∠PAB=∠PBA=30°， ∵∠ABE=∠ABO=30°， ∴∠PAB=∠ABO， ∴PA∥BC， ∴∠PAO=90°， ∴点P的横坐标为﹣令x=﹣∴y=2， ∴P（﹣

，2）， 代入y=

， x+3，

当PB=AB时，如图3， ∴由勾股定理可求得：AB=2

，EB=6，

若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1， 过点P1作P1F⊥x轴于点F， ∴P1B=AB=2∴EP1=6﹣2∴sin∠BEO=∴FP1=3﹣令y=3﹣∴x=﹣3， ∴P1（﹣3，3﹣

）， ， 代入y=

x+3，

， ，

，

若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2， 过点P2作P2G⊥x轴于点G，