高三上学期期末考试数学试题分类汇编：数列

2、（1）令n?1，得a2?2． 1+?2?+4．…………2分

?+12?+1????令n?2，得a2S3?a3S2+a2?a3??a2a3，所以a3?22?+4?2?由a?a1a3，得?，因为??0，所以??1．………4分 ???1+????+1??2?+1?22（2）当??所以

11时，anSn?1?an?1Sn+an?an?1?anan?1， 22Sn?1SnS+1Sn+11111?+??，即n?1??，………………………6分 an?1an?1an?1an2an?1an2?S+1?1所以数列?n?是以2为首项，公差为的等差数列，

2?an?所以

Sn+11?2+?n?1??， ……………………………………………………8分 an2?n3?即Sn+1??+?an，①

?22??n3?当n≥2时，Sn?1+1??+?an?1，②

?22?①?②得，an?n+3n+2an?an?1，……………………………………………10分 22即?n+1?an??n+2?an?1，所以

ana?n?1?n≥2?， ………………………12分 n+2n+111?a?所以?n?是首项为是常数列，所以an??n+2?. ……………………14分

33?n+2?n2?5n?n3?代入①得Sn??+?an?1?. ……………………16分

6?22?ni?1i3、解：（1）因为an?2单调递增，所以Ai?2，Bi?2， ii?1i所以ri?2?2??2，1?i?m?1. ……………4分

（2）根据题意可知，ai?Ai，Bi?ai?1，因为ri?Ai?Bi??2?0，所以Ai?Bi 可得ai?Ai?Bi?ai?1即ai?ai?1，又因为i?1,2,3,,m?1，所以{an}单调递增， ……7分

则Ai?ai，Bi?ai?1，所以ri?ai?ai?1??2，即ai?1?ai?2，1?i?m?1，

所以?an?是公差为2的等差数列，an?1?2(n?1)?2n?1，1?i?m?1. ………10分

nn（3）构造an?n?()，其中bn?n，cn??(). ………12分

1212下证数列?an?满足题意.

证明：因为an?n?()，所以数列?an?单调递增，

n12所以Ai?ai?i?()，Bi?ai?1?i?1?()所以ri?ai?ai?1??1?()因为ri?1?ri?[?1?()12i12i?1， ……………14分

12i?1，1?i?m?1，

12i?211]?[?1?()i?1]?()i?2?0，

22所以数列?ri?单调递增，满足题意. …………16分 4、

5、解：（1）q?0，an?1?an?p?3n?1，∴a2?a1?p?211?p，a3?a2?3p??4p， 221?1?1?? 由数列?an?为等比数列，得??p????4p?，解得p?0或p?1. ………………3分

2?2?2??1 当p?0时，an?1?an，∴an? 符合题意； ………………………4分

2 当p?1时，an?1?an?3n?1， ∴an?a1??a2?a1???a3?a2?? ∴

1??an?an?1?=??1?3?2?3n?211?3n?11n?1??2?1?3?2?3，

an?1?3符合题意. ………………………6分 an （2）法一：若p?1，an?1?an?3n?1?nq，

∴an?a1??a2?a1???a3?a2?? =

??an?an?1?

1n?1?3?n?n?1?q?=??n?1??q??. ………………8分 2?1n?11? ∵数列?an?的最小项为a4，∴对?n?N*，有?3?nn?1q≥a????27?12q?恒成立， 4?2?2?3n?2????1?2?即3n?1?27≥n2?n?12q对?n?N*恒成立. ………………………10分

1??1?3?2??13； 612 当n?2时，有?24≥?10q，∴q≥；

5当n?3时，有?18≥?6q，∴q≥3；

当n?4时，有0≥0，∴q?R； ………………………12分 当n?1时，有?26≥?12q，∴q≥3n?1?27当n≥5时，n?n?12?0，所以有q≤2恒成立，

n?n?122?n2?2n?12?3n?1?54n3n?1?27令cn?2?0， ?n≥5,n?N*?，则cn?1?cn?22n?n?12?n?16??n?9?2即数列?cn?为递增数列，∴q≤c5?综上所述，3≤q≤27. ………………………15分 427. ………………………16分 4法二：因为p?1，an?1?an?3n?1?nq，

?a4?a3≤0,?9?3q≤0,又a4为数列?an?的最小项，所以?即?

a?a≥0,27?4q≥0,?4?527. …………………………………………………………8分 4此时a2?a1?1?q?0，a3?a2?3?2q?0，

所以a1?a2?a3≥a4. …………………………………………………………10分

27当n≥4时，令bn?an?1?an，bn?1?bn?2?3n?1?q≥2?34?1??0，

4所以bn?1?bn，所以0≤b4?b5?b6?，

即a4≤a5?a6?a7?. …………………………………………………………14分

27综上所述，当3≤q≤时，a4为数列?an?的最小项，

427即所求q的取值范围为[3,]. …………………………………………………………16分

4所以3≤q≤6、解：（1）因为an?21n?11(?)??2(?)n， 33321[(1?(?)n]3?1[(1?(?1)n]， …………2分 Sn?31231?(?)311?(?)n2Sn13所以bn?…………4分 ??．

1an?2?2(?)n?223（2）若bn?n，则2Sn?nan?2n，∴2Sn?1?(n?1)an?1?2， 两式相减得2an?1?(n?1)an?1?nan?2，即nan?(n?1)an?1?2， 当n?2时，(n?1)an?1?(n?2)an?2，