(刷题1+1)2020高考数学讲练试题 素养提升练(四)理(含2020高考+模拟题)

(2020·郴州三模)在直角坐标系xOy??x＝tcosα，

中，曲线C1的参数方程为?

?y＝－2＋tsinα?

(t为参数，0≤α<π)，点M(0，－2)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，π??曲线C2的极坐标方程为ρ＝42cos?θ＋?.

4??

(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其形状；

1117

(2)曲线C1与曲线C2交于A，B两点，若＋＝，求sinα的值．

|MA||MB|4π??2

解 (1)由ρ＝42cos?θ＋?，得ρ＝4cosθ－4sinθ，所以ρ＝4ρcosθ－

4??4ρsinθ.

即x＋y＝4x－4y，(x－2)＋(y＋2)＝8.

所以曲线C2是以(2，－2)为圆心，22为半径的圆．

??x＝tcosα，

(2)将?

?y＝－2＋tsinα?

2

2

2

2

2

代入(x－2)＋(y＋2)＝8.

22

整理得t－4tcosα－4＝0.

设点A，B所对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝4cosα，t1t2＝－4.

|MA|＋|MB||t1|＋|t2||t1－t2|＋＝＝＝＝|MA||MB||MA||MB||t1t2|41

1

16cosα＋1617

＝. 44

1152

解得cosα＝，则sinα＝.

164

23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2020·郴州三摸)已知f(x)＝|ax＋2|. (1)当a＝2时，求不等式f(x)>3x的解集； 2

(2)若f(1)≤M，f(2)≤M，证明：M≥.

3

解 (1)当a＝2时，不等式f(x)>3x可化为|2x＋2|>3x. 2

当x≤－1时，－2x－2>3x，x<－，所以x≤－1；

5当x>－1时，2x＋2>3x，x<2，所以－13x的解集是(－∞，2)．

(2)证明：由f(1)≤M，f(2)≤M，得M≥|a＋2|，M≥|2a＋2|，3M＝2M＋M≥2|a＋2|＋|2a＋2|，

2

t1＋t2

4

2

－4t1t2

＝

又2|a＋2|＋|2a＋2|≥|4－2|＝2， 2

所以3M≥2，即M≥.

3