(刷题1+1)2020高考数学讲练试题 素养提升练(四)理(含2020高考+模拟题)

OB?平面POB，

所以AD⊥平面POB. 所以PO⊥AD.

所以PO＝a，PD＝2a. 过点D作DH⊥PB，H为垂足，

过点H作HG∥BC交PC于点G，连接DG，

因为AD⊥PB，BC∥AD， 所以BC⊥PB，即HG⊥PB.

所以∠DHG为二面角D－PB－C的平面角． 在等腰△BDP中，BD＝BP＝2a，PD＝2a， 根据等面积法可以求得DH＝1

进而可以求得PH＝a，

212

所以HG＝a，PG＝a.

22

在△PDC中，PD＝2a，DC＝2a，PC＝22a，

7

a. 2

PD2＋PC2－DC23

所以cos∠DPC＝＝.

2PD·PC4

在△PDG中，PD＝2a，PG＝

2

2

2

23

a，cos∠DPC＝， 24

2

所以DG＝PD＋PG－2PD·PG·cos∠DPG＝a，即DG＝a. 在△DHG中，DH＝

71

a，HG＝a，DG＝a， 22

DH2＋HG2－DG227

所以cos∠DHG＝＝.

2DH·HG7

27

所以二面角D－PB－C的余弦值为.

7

20．(本小题满分12分)(2020·扬州一模)已知直线x＝－2上有一动点Q，过点Q作直→→

线l1垂直于y轴，动点P在l1上，且满足OP·OQ＝0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为曲线

C.

(1)求曲线C的方程；

?1??1?(2)已知定点M?－，0?，N?，0?，A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，?2??2?

且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．

解 (1)设点P(x，y)，则Q(－2，y)， →→

∴OP＝(x，y)，OQ＝(－2，y)．

→→→→22

∵OP·OQ＝0，∴OP·OQ＝－2x＋y＝0，即y＝2x. 所以曲线C的方程为y＝2x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直线BD与x轴交点为E，直线AB与内切圆的切点为T.

2

??x＋1?，?y＝k?2?1????x＋设直线AM的方程为y＝k?则联立方程组??，

?2???y2＝2x，

k2

4＝0，

11

∴x1x2＝且0

42∴直线AN的方程为y＝

得kx＋(k－2)x＋

222

y1?1?

?x－?，

1?2

2?

x1－

1?122?2222

与方程y＝2x联立得y1x－?y1＋2x1－2x1＋?x＋y1＝0，

2?4?

?21?12

化简得2x1x－?2x1＋?x＋x1＝0，

2?2?

1

解得x3＝或x3＝x1.

4x1∵x3＝

1

＝x2，∴BD⊥x轴， 4x1

设△MBD的内切圆圆心为H，则点H在x轴上且HT⊥AB. 1?1?

∴S△MBD＝·?x2＋?|2y2|，

2?2?且△MBD的周长为21?

∴S△MBD＝?2

2?

?x2＋1?2＋y2＋2|y|， ?22

2???

?x2＋1?2＋y2＋2|y|?

?22?·r

2????

1?1?

＝·?x2＋?·|2y2|，

2?2?

?x2＋1?|y|??2

2??

∴r＝

1?x2＋?2＋y2

|y2|＋?2

2???

＝

1

11

x2＋

2＝

＋

1＋1

y22?x2＋1?2

?2?

??

11

＋2x2?

11?2

x＋2?2???

＋1

， 1

2

x2＋

1

令t＝x2＋，则t>1，

2∴r＝1111＋2＋2t－1tt12＋1

在区间(1，＋∞)上单调递增，

则r>＝2－1，

即r的取值范围为(2－1，＋∞)．

21．(本小题满分12分)(2020·湖南永州三模)已知函数f(x)＝ln －ax＋(a，b>0)，

2xxb?4?对任意x>0，都有f(x)＋f??＝0.

x??

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围．

xb24axb?4?解 (1)由f(x)＋f??＝ln －ax＋＋ln －＋＝0，得b＝4a， 2xxx4?x?

4a14a－ax＋x－4af(x)＝ln －ax＋，f′(x)＝－a－2＝(x>0)．

2xxxx2令h(x)＝－ax＋x－4a，

12

若Δ＝1－16a≤0时，求得a≥，此时h(x)≤0，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单

4调递减．

12

若Δ＝1－16a＞0，即0

41－1－16a1＋1－16ax1＝>0，x2＝>0，h(x)开口向下，

2a2a当0

2

2

2

x2

当x10，f(x)单调递增； 当x>x2时，h(x)＜0，f′(x)<0，f(x)单调递减．

11

综上所述，当a≥时，f(x)单调递减；当0

44递减，f(x)在(x1，x2)上单调递增．

1

(2)由(1)知当a≥时，f(x)单调递减，不可能有三个不同的零点；

4

1

当0

4

f(2)＝ln －2a＋2a＝0，又x1x2＝4，有x1<2f(2)＝0， f?2?＝－ln 2a2－＋4a3，

a?a?

123

令g(a)＝－ln 2a－＋4a，

22

?1?

1

a4a112a－2a＋1

g′(a)＝－2＋2＋12a2＝，

2aaa2令h(a)＝12a－2a＋1，h′(a)＝48a－2，由h′(a)＝48a－2＝0，求得a0＝3

1?1?31

当00，

4?4?642

4

3

3

4

124

1

>，4

f?2?＝g(a)＝－ln 2a2－＋4a3在?0，?上单调递增，

a?a??4?

1?1??1?故f?2?＝g(a)

16?a??4?

?1?

1

?

1?

f?2?<0，f(x2)>0，2>x2，

a?a?

1??由零点存在性定理知f(x)在区间?x2，2?有一个根，设为x0，

a?1?

1

??

44?4??4?又f(x0)＋f??＝0，得f??＝0,0<

xx?0??0?

x0x0

14

故当0

4x0

(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]