南通一中2014-2015学年度第二学期最后一练高三数学参考答案

南通一中2014-2015学年度第二学期高三数学最后一练

参

考答案

1．{（3，﹣1）}； 2．真；

3．2；

4．255；

5．

π4； 6．(?3,1)?(3,??)； 7．??π4； 8．λ>－3；

9．1023； 10．②③；

11．5?12； 12．(ππ4,3)；

13．??926?4,15?4??； 14．[2,3] 【解析】

11．方法一：令y＝tx，则t>0，代入不等式得x2＋2tx2≤a(x2＋t2x2)，消掉x2得1＋2t≤a(1＋t2)，

即at2－2t＋a－1≥0对t>0恒成立，显然a>0，故只要Δ＝4－4a(a－1)≤0，即a2－a－1≥0，考虑到a>0，

得a≥5?12.

x2方法二：令y＝tx，则a≥＋2xy1＋2tm?1x2＋y2＝1＋t2，令m＝1＋2t>1，则t＝2， 则a≥

1＋2t4m45?15?11＋t2＝4＋(m－1)2＝4mm2－2m＋5＝4≤＝m＋5－225?22，故a≥2. m13．分析：由条件S2n?Sn?1?3n2(n≥2)得Sn?1?Sn?3(n?1)，两式相减得an?1?an?6n?3，故

an?2?an?1?6n?9，两式再相减得an?2?an?6，由n?2得a1?a2?a1?12， a2?12?2a，从而a2n?6n?6?2a；n?3得a1?a2?a3?a1?a2?27，a3?3?2a，从而a2n?1?6n?3?2a，由条

??a?12?2a?6n?6?2a?6n?3?2a件得??6n?3?2a?6(n?1)?6?2a9，解之得4?a?154 14．左焦点为F1.连结AF1,BF1可得四边形AF1BF是矩形，所以AO?OF?OB?c.所以AB?2c又AF?BF,所以. AF?2csin?,BF?2ccos?.又因为AF1?BF，AF1?AF?2a.所以2csi?n?c2?c?os.a即

ca?1sin??cos??1.?ππ?6≤2sin(??π)≤2.2sin(???因为????12,4??,以244)所以21c2622?2≤a≤6?3.故填[2,63]. 15．（1）f(x)5πmax?3，??12；（2）b?c?0.

解：（1）由题意可得：f(x)????1?cos(2x?π2)??π??3cos2x?1?sin2x?3cos2x?1?2sin(2x?3)，（3分）

又∵x???π?4,π?2??，∴π6≤2x?π3≤2π3，（5分）

故当2x?π3?π2，即x???5π12时，f(x)max?3；（7分）

（2）由（1）知A???π12?π3，（8分）

又∵sinBsinC?sin2A，∴bc?a2，（9分） ∵a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc，（11分）

∴b2?c2?bc?bc，即(b?c)2?0，故b?c（13分） 所以△ABC是等边三角形（14分）

16．解：（1）连结OEQ O是正方形的中心\\O是AC的中点，

又QE是PC的中点 \\OE是VPCA的中位线 \\ OE∥PA， （3分）

又QOEì 平面BDE,PA? 平面BDE \\PA∥平面BDE.

（7分）

（2）QPO?底面ABCD，BDì平面ABCD，\\PO?BD

（9分） 又QBD?AC AC?POO，且AC,PO?平面PAC，\\BD?

平面PAC平面BDE \\平面 PAC ? 平面 BDE ． （12分） 又Q BDì （14分） 17．（1）S1π4π弓?2R2(??sin?)；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成3时，总利润取最大值5R2(3?53).解：（1）S12R2?，S2, S1扇??OBD?1R2sin?弓?f(?)?2R2(??sin?). （3分）

（2）设总利润为y元，种植草皮利润为y1元，种植花卉利润为y2，种植学校观赏植物成本为y3

y30(12πR2?12R2?)，y111?2?2R2sin??80，y3?2R2(??sin?)?20， （6分）

?y?y111121?y2?y3?30(2πR2?2R2?)?2R2sin??80?2R(??sin?)?20 .

?5R2[3π?(5??10sin?)]

（9分） 设g(?)?5??10sin? ??(0,π).

g'(?)?5?10cos?

g'(?)?0,cos??1π2,g(?)在??（0,3）上为减函数； g'(?)?0,cos??1π2,g(?)在??（3,π）上为增函数. （12分） 当??π3时，g(?)取到最小值,此时总利润最大：y?5R2[3π?(5??10sin?)]=5R（24π3-53）.（13分） 答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成?3时，总利润取最大值5R（24π3?53）. （14分） 2218．（1）x25?y16?1或25x2256?y216?1；

（2）m?5． 解：（1）当焦点在x轴上时， ?a2?16?c2?a2?由????c2?16?c3?3?16a2?16?a?25，故所求椭圆方程为x2y22?a?5??c?5a2525?16?1．（2分）

当焦点在y轴上时，

?16?a2?c2?a2由??16?c2???225625x2y2 ?c3?12?a?，故所求椭圆方程为??1．

?4?5??c?52525616x2y225?16?1或25x2256?y2综上所述，所求椭圆方程为16?1．

（2）如图所示：

设直线AB的方程为y?k?x?3?,?k?0?，A?x?,B?x?25??25?1,y12,y2?,M??3,y3??,N??3,y4??，?则由?y?k?x?3??x2??16?5k2?x2?150k2x?25k2?400?0， ?y2?25?16?1根据韦达定理（根与系数的关系）得：

x150k21?x2?16?25k2，x225k2?4001x2?16?25k2， ?由???y1?k?x1?3??256??y2xk2

?y1y2?k?1?3??x2?3??2 ?? ① 2?k?x2?3?16?25k?M、D、A三点共线，即????MD?//???DA?,且????MD?????m?253,?y?????3??，DA??x1?m,y1?,

??y3?x1?m??y?25?3???y3?y1?3m?25?1??m?3?m?x,同理可得y4?y2?3m?25?3?m?x, 1?2??y?3m?25?2y1y23y4?9?m?x ??②

1??m?x2? 根所题意,?MFN?π??????????????????2（直径所对圆周角），即FM?FN?FM?FN?0，

（4分）

（5分）

（8分） （10分）（12分）????????FM????16,y?3?2??3??y?16?256 ??③ （14分）

????3y4????0?y3y4???FN????16?3,y??3??94??2由①、②、③得：?3m?25??256k29?m?x???2569??1?k2??16m2?400??0， 1??m?x2?16?25k2?1?k2?0，?由16m2?400?0?m??5， ?点D在F?3,0?的右侧，?m?3，m?5．

?存在满足条件的D点，且m?5．

（16分） 19．解：（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?a?12ax2?a?1x?2ax＝x ，

（2分）

当a≥0 时，f（?x）＞0 ，故f(x) 在（0，??）上单调递增；

当a≤?1 时，f（?x）＜0 ，故f(x)在

（0，??）上单调递减； （4分）

当?1＜a＜0 时，令f（?x）?0 ，解得x??a?12a ， 即x????a?1?2a??时，f?(x)?0；x???a?1??0,???2a,????时，f?(x)?0.（6分） ??? 故f（x）在（0，?a?12a）上单调递增，在（?a?12a，??）上单调递减．

（8分）

（2）不妨设x1?x2，而a??1，由（1）知f(x)在(0,??)单调递减， 从而对任意x1、x2?(0,??)，恒有?x1，x2?（0，??），（|fx1）?（fx2）≥4x1?x2| ?f(x1)?f(x2)…4(x2?x1)?f(x1)?4x1…f(x2)?4x2

（11分）

令g(x)?f(x)?4x，则g?(x)?a?1x?2ax?4等价于g(x)在(0,??)单调递减， 即g?(x)?a?1x?2ax?4?0，

（13分）

?4x?1(2x?1)2从而a??4x2?2(2x?1)22x2?1?2x2?1?2x2?1?2， 故a的取值范围为???,?2?.

（16分）

另解：a≤(?4x?1?4x?2x2?1)min 设?(x)?12x2?1， 则??(x)??4(2x2?1)?(?4x?1)?4x8x2?4x?48x2?4x?44(2x?1)(x?1)(2x2?1)2?(2x2?1)2?(2x2?1)2?(2x2?1)2

当x?(0,12)时，??(x)?0,?(x)为减函数，x?(12,??)时，??(x)?0,?(x)为增函数．

∴?(x)(1min??2)??2 ∴a的取值范围为（??，?2]. 20．解：（1）a8?a2?3(a4?a2)?0?3?(3?0)?9 ）

a9?a1?4?(a3?a1)?2?4?2?10,?a8?a9?19 （3分） （2）{an}是3级等差数列，an?3?an?3?2an，

2(2n?sin?n)?2(n?3)?sin(?n?3?)?2(n?3)?sin(?n?3?)（n?N*）（4分） ?2sin?n?sin(?n?3?)?sin(?n?3?)?2sin?ncos3?（n?N*）

所以sin?n?0，或cos3??1，sin?n?0对n?N*恒成立时， ??kπ(k?Z)

cos3??1时，3??2kπ(k?Z),???2kπ3(k?Z),

???{?|??2kπ3(k?Z)}?{?|??kπ(k??)} （6分）

?最小正值等于

2π3，此时a2nπn?2n?sin3. 由于sin2(3n?2)π3?sin2(3n?1)π3?sin2(3n)π3?0（n?N*）

?a*3n?2?a3n?1?a3n?6(3n?1)（n?N） （8分）

San[12?6(3n?1)]3n?(a1?a2?3)?(a4?a5?a6)???(a3n?2?a3n?1?a3n)?2 ?9n2?3n（n?N*） （9分）

（3）若{an}为2级等差数列，an?2?an?2?2an，则{a2n?1},{a2n}均成等差数列，（10分）设等差数列{a2n?1},{a2n}的公差分别为d1,d2，

{an}为3级等差数列，an?3?an?3?2an，则{a3n?2}成等差数列，设公差为D a1,a7既是中{a2n?1}的项，也是{a3n?2}中的项，a7?a1?3d1?2D a4,a10既是中{a2n}的项，也是{a3n?2}中的项，a10?a4?3d2?2D

?3d1?3d2?2D （12分）

设d1?d2?2d，则D?3d

所以a(n?1)d*2n?1?a1?1?a1?(2n?2)d（n?N），

a2n?a2?(n?1)d2?a2?(2n?2)d，（n?N*）

又a4?a1?D?a1?3d，a4?a2?d2?a2?2d，所以a2?a1?d， ?a*2n?a1?(2n?1)d（n?N）（14分）

综合得：?an?a1?(n?1)d，显然{an}为等差数列． （16分）

附加题参考答案

21B．得a＝2（3分）设点列式（3分）得x2?14y2?1（4分） 21C．（1）3x?y?3?0；（2）??33??2,2??.

??解：（1）∵?sin??π?3??????32，∴???31?3??2cos??2sin?????2, ∴32x?12y?32,即所求直线l的直角坐标方程为3x?y?3?0．（3分） （2）曲线C的直角坐标方程为：?x?1?2?y2?1?0≤y≤1? ， （6分） 3∴?????3x?y?3?0??x?2???x?1?2?y2?1，解得??3或??x?1?2（舍去）． （9分）

???y?2??y??32所以，直线l与曲线C的交点的直角坐标为??33??2,2??． （10分）

??22．解：（1）设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A，

则P(A)?C13?C222C52C5C4?6． 77所以取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率为67．（4分） （2）随机变量X的所有可能取值为1，2，，3，4，

P(X?1)?C333331CP(X?2)?C44C52C644?，C4?，P(X?3)?4?，P(X?4)?4?，735735C77C77所以随机变量X的分布列是 2 3 4 X 1 P 1 44

35 2357 7 （8分）

随机变量X的数学期望EX?1?135?2?435?3?27?4?4177?5．（10分） 23．解：（1）由题意知F(p2,0)，设D(t,0)(t?0)，则FD的中点为(p?2t4,0)，

因为|FA|?|FD|，由抛物线的定义知：3?p2?|t?p2|，

解得t?3?p或t??3（舍去）.由p?2t4?3，解得p?2.

所以抛物线C的方程为y2?4x.（3分） （2）（ⅰ）由（1）知F(1,0)， 设A(x0,y0)(x0y0?0),D(xD,0)(xD?0)，

因为|FA|?|FD|，则|xD?1|?x0?1，由xD?0得xD?x0?2，故D(x0?2,0)，

故直线AB的斜率为k??y0AB2，因为直线l1和直线AB平行，

设直线ly01的方程为y??2x?b， 代入抛物线方程得y2?8yy?8by?0，由题意??6432b22??0，得b??. 00y0y0y0设E(xE,yE)，则yE??44y，xE?2. 0y04当y2yE?y?y00y4y00?4时，kx??0AB?42?2， E?x0y2?y0y0?404可得直线AE的方程为y?y4y00?y24(x?x0)，

0?由y20?4x0，整理可得y?4y0y2(x?1)， 0?4直线AE恒过点F(1,0).

当y20?4时，直线AE的方程为x?1，过点F(1,0)， 所以直线AE过定点F(1,0).（6分）

（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点F(1,0)，

所以|AE|?|AF|?|FE|?(x110?1)?(x?1)?x0??2，

0x0设直线AE的方程为x?my+1， 因为点A(x?10,y0)在直线AE上，故m?x0y， 0设B(xy01,y1)，直线AB的方程为y?y0??2(x?x0)， 由于y0?0，可得x??2yy?2?x0， 0代入抛物线方程得y2?8yy?8?4x0?0， 0所以y80?y1??y，可求得y841??y0?y，x1??x0?4， 00x0所以点B到直线AE的距离为

|4?x80?4?md?x(y0?0y)?1|04(x0?1)11?m2?x?4(x0?0x). 0则?ABE的面积S?112?4(x0?x)(x?100x?2)≥16， 0当且仅当x0?1x即x0?1时等号成立. 0所以?ABE的面积的最小值为16. （10分）

考后反思表

失分原因 题号 失分 解决措施 努力方向 审题不清 概念不清 思考不周 计算错误 逻辑混乱 不规范不严谨 意志不坚 时间搭配不当