学科网2011高考全国百所名校月考试题重组数学卷专题五 解析几何（教师版）

2?x12y1?2?1??x1?x2??x1?x2??28a则?．两式作差得：?2228y?x2?22?1?a?28?y1?y2??y1?y2?a2?0

由于

y1?y2x1?x2??4，x1?x2?2x0,y1?y2?2y0所以，

x284ya2x028?4y0a2?0，

所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线??0截在椭圆S内的部分．

又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，

a2112?12．所以，a2?56，椭圆S

的方程为：

x228?y256?1．

【试题出处】深圳高级中学2010—2011学年第一学期高三第三次考试数学（理科）试题

【原题】已知抛物线C：y?mx2（m?0），焦点为F，直线2x?y?2?0 交抛物线C于A、B两 点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q， （1）若抛物线C上有一点R(xR,2) 到焦点F的距离为3，求此时m的值； （2）是否存在实数m，使?ABQ是以Q为直角顶点的直角 三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。 【解析】（1）?抛物线C的焦点F(0,?RF?yR?14m?2?214m)，--------------------------2分

14m?3，得m?14m)?214。-----------------6分

116m2 （或利用RF22?(xR?0)?(2?2m?4?1?1m?3得

280m?16m?1?0，?m?14或m??20（舍去））

?y?mx2222（2）联立方程?，消去y得mx?2x?2?0，设A(x1,mx1),B(x2,mx2)，

?2x?y?2?02?x?x?2212?1x1?x2mx1?mx2?m,)，即P(,yp)， 则?（?），-------8分?P是线段AB的中点，?P(

m22?x?x??212?m??????11???1122??Q(,)，---------10分得QA?(x1?,mx1?),QB?(x2?,mx2?)，

mmmmmm????????若存在实数m，使?ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA?QB?0，---11分

11

即(x1?1m)?(x2?1m)?(mx1?21m)(mx2?1221m)?0，结合（?）化简得?4m2?6m?4?0，

即2m2?3m?2?0，?m?2或m??的直角三角形。-------15分

（舍去），?存在实数m?2，使?ABQ是以Q为直角顶点

【试题出处】浙江省新高考研究联盟2011届第一次联考数学(文科)试题卷 【原题】设椭圆C1：

xa22?yb2222?1(a?b?0)，抛物线C2：x?by?b.

yQ(1) 若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2) 设

A(0,b),Q(33,54又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若b)，

34OxNM?AMN的垂心为B(0,且?QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛b)，

物线C2的方程．

【试题出处】2010年江西省理21．

【原题】设F1,F2分别是椭圆E:xa22?yb22?1(a?b?0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线i与E相

交于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列。（1）求E的离心率；（2） 设点p(0,?1)满足PA?PB，求E的方程

【解析】（I）由椭圆定义知AF2?BF2?AB?4a，又2AB?AF2?BF2， 得AB?43a l的方程为y?x?c，其中c?a?b。

22?y?x?c?设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则A、B两点坐标满足方程组?x2y2

?2?2?1b?a化简的?a2?b2?x2?2a2cx?a2?c2?b2??0则x1?x2?因为直线AB斜率为1，所以AB?434ab222?2aca?b222,x1x2?a2?c22?b22?a?b

2x2?x1?22??x1?x2??4x1x2? ??得a?a?b,故a?2b所以E的离心率e?22ca?a?ba22?22

（II）设AB的中点为N?x0,y0?，由（I）知x0?y0?1x0x1?x22??aca?b222??23c，y0?x0?c?c3。

2由PA?PB，得kPN??1，即

从而a?32,b?3故椭圆E的方程为??1得c?3，

x218?y9 ?1。

【试题出处】2010年全国高考宁夏卷20

【原题】已知圆C:x?y?9，点A(?5,0)，直线l:x?2y?0.

y22⑴求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；⑵在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有

PBPAP为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.

ABOx【解析】⑴设所求直线方程为y??2x?b，即2x?y?b?0，

|?b|2?122?直线与圆相切，∴?3，得b??35，

∴所求直线方程为y??2x?35 --------5分

⑵方法1：假设存在这样的点B(t,0)，当P为圆C与x轴左交点(?3,0)时，

PBPA?|t?3|2；

当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，依题意，

|t?3|2?|t?3|8PBPA?|t?3|8，

95，解得，t??5（舍去），或t??PBPA2。--------8分

下面证明 点B(?952,0)对于圆C上任一点P，都有

(x?9)?y2为一常数。

x?2(5x?17)9552525设P(x,y)，则y?9?x， ∴2?， ???2222PA(x?5)?yx?10x?25?9?x2(5x?17)25218PB2x?81?9?x218从而

PBPA?35为常数。 ---------15分

PBPA方法2：假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数?，则PB2??2PA2，

∴(x?t)2?y2??2[(x?5)2?y2]，将y2?9?x2代入得，

x?2xt?t?9?x??(x?10x?25?9?x)，即

2(5??t)x?34??t?9?0对x?[?3,3]恒成立， ------------8分 3?????5???1?5?2?t?0,??∴?，解得或?（舍去）， 922t??5???t???34??t?9?0,?5?222222222所以存在点B(?95,0)对于圆C上任一点P，都有

PBPA为常数

35。-------------15分

【试题出处】江苏省扬州市2011届高三数学调研试卷

【原题】已知圆O:x?y?2交x轴于A，B两点,曲线C是以AB2222Q 的椭圆,其左焦点为F．若P是圆O上一点,连

y P 为长轴,离心率为

结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．(Ⅰ)求椭

圆C的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),

求证:直线PQ与圆O相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分) 【解析】(Ⅰ)因为a?2A F O B x 2,e?22,所以c=1?(3分)则b=1,即椭圆

C的标准方程为

x2?y?1?(5分)

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