学科网2011高考全国百所名校月考试题重组数学卷专题五 解析几何（教师版）

学科网2011高考全国百所名校月考试题重组数学卷专题五解析几何

【备考要点】解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：

（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。

（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。

（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上

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时，可设方程为mx+ny=1(m＞0,n＞0)。

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。

（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。

（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。

（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。

（7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。

在数学复习中，要合理安排本学科所需要的内容，即不能一味地做难题，又不能只背一些公式、掌握一些技巧，在后段复习中要特别注意做好知识点的疏通与清理。（1）清理考点。对《考试说明》提出的数学概念、公式和方法等考点要逐一疏通，特别是自己平时掌握有一些困难的，要有计划地查漏补缺，形成合理的知识结构。（2）清理“错题”。考前要有计划地推敲“错题集”，即整理近期自己做错的题目，看看现在再做时能否顺利解决，纠正错误，尤其是分清错误类型（如知识缺陷型、解题策略型、不良习惯、心理型等），增强防范意识。（3）清理题型。考前一段时间要对各种基本题型进行归纳回顾，领悟其基本思路，有针对性地分类突破。（4）清理方法。首先要通过各类题型熟练掌握具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、比较法、归纳法、分离参数法及分析法、综合法、反证法；其次要花大力气领悟几种重要的数学思想，如数形结合、分类讨论、化归与转化、函数与方程等，因为高考已由知识测量型转化为能力检测型，并把重点放在数学思想方法的应用上，如分类讨论用于协调、缓和“矛盾”，达到运用知识合理解题的思想，要回顾和领悟的有：为什么要讨论？何时讨论？如何讨论？常见的讨论类型有哪些？通过典型试题的整理和反思，相信会有所收获。

【原题】在平面直角坐标系xoy中，以C（1，－2）为圆心的圆与直线x?y?32?1?0相切。（1）求圆C的方程；（2）求过点（3，4）的直线截圆C所得的弦长为25的直线方程；（3）是否存在斜率为1的直线l,使得l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，

请说明理由。

【解析】（1）设圆的方程是(x?a)2?(y?b)2?R2依题意得??1分 所求圆的半径R?1?2?32?1222?3?2分?所求的圆方程是(x?1)?(y?2)?9?3分

（2）∵圆方程是(x?1)2?(y?2)2?9∴当斜率不存在时，符合题意，即所求的直线方程是X=3 当斜率存在时，设直线的斜率为k,则直线方程为y?4?k(x?3)，即kx?y?4?3k?0

k?2?4?3kk?12由圆心C(1,－２)到直线的距离d?43?2?k?3k?12?1?k?43??5分

∴直线方程为y?4?(x?3) 即4x?3y?0?6分∴所求的直线方程为X=3和4x?3y?0 ?7分

(3)设存在满足题意的直线l,设此直线方程为y?x?m

设直线l与圆C相交A,B两点的坐标分别为?x1,y1?,(x2,y2)，依题意有OA?OB??8分 即kOA.kOB??1∴

y1y2.??1?x1x2?y1y2?0????9分 x1x2?y?x?m?y?x?m即?2因为? 222(x?1)?(y?2)?9x?y?2x?4y?4?0??消去y得: 2x2?2(m?1)x?m2?4m?4?0????9分

m?4m?422所以x1?x2??(m?1),x1x2?????10分

?x1x2?y1y2?0 y1?x1?m，y2?x2?m

2∴x1x2?(x1?m)(x2?m)?0 即2x1x2?m(x1?x2)?m?0

22∴m?4m?4?(m?1)?m=0 解得 m1??4,m2?1???11分

经检验m1??4,m2?1 ??0都符合题意∴存在满足题意的直线l：l1:y?x?4,l2:y?x?1?12分 【试题出处】泰宁一中2011届高三年级第二次月考数学试题（文）

【原题】已知圆C：x2?y2?4.（1）直线l过点P?1,2?，且与圆C交于A、B两点，若|AB|?23，求直线l的方程;（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量

?????????????OQ?OM?ON，求动点Q的轨迹方程.

[来源:Z_x

【解析】（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x?1，

l与圆的两个交点坐标为1,3和1,?3，其距离为23，满足题意??? 2分

????

【试题出处】唐山一中2010—2011学年12月份高三年级月考数学（文科）试卷

【原题】已知直线l:y?k(x?22)与圆O:x2?y2?4相交于A,B两点，O为坐标原点，?AOB的面积为S．（1）试将S表示成k的函数S(k)，并求出其定义域；（2）求S的最大值，并求取得最大时k的值．

【解析】（1）设圆心O到直线l的距离为d，则d?|22k|k1242(1?k)kk?1222222，所以(|AB|2)?r?d222?4?8kk22?1?1，

故S(k)?|AB|d?,k?(?1,1)

（2）S(k)?42(1?k)kk?122,k?(?1,0)?(0,1)

2 ?(1?k)?2k2?(1?k2?2k2)?2(k2?1)42当且仅当k??33时取等号，此时Smax?2

【试题出处】哈九中2011届高三12月份月考数学（文）试题

【原题】设双曲线

ya22?x23离心率为2.（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2?1的两个焦点分别为F1、F2，

的方程；（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（Ⅲ）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP?OQ?0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

??2?OP2OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)

?y?k(x?1)?2222由?得(3k?1)x?6kx?3k?3?0x2y??1? 3?则x1?x2?6k3k22?1，x1x2?3k3k22?3?1(ii)