抽屉原则（一）

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六年级 刘大占 学 科 奥数 版 本 抽屉原则（一） 【本讲教育信息】

一. 教学内容：

抽屉原则（一）

抽屉原则，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理。 抽屉原理（一）：把多于n个的元素，按任一确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中含有至少两个元素。 抽屉原理（二）：把多于m?n个元素放到n个抽屉中，那么一定有一个抽屉里有m?1或者m?1个以上的元素。

应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉，这是应用抽屉原理解题的关键。

【典型例题】

例1. 求证：1997年1月出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。

分析与解：1997年1月份共31天，为了回答上述问题，我们不妨设1月份这31天为31个抽屉，而将1月份出生的任意32个孩子看成32个元素。根据抽屉原理（一）知，有一个抽屉里至少放入两个元素，也就是说，1月份出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。

例2. 能否在8行8列的方格表（如下图）的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每一行、每一列及对角线AC、BD上的各个数字的和各不相同？对你的结论加以说明。

A D

分析与解：图中8行8列及两条对角线，共有18条“线”，每条线上都填有8个数字，要使各条“线”上数字和均不相同，那么各条“线”上的数字和的取值情况应不少于18种。 如果某一条“线”上的8个数字都填最小的数1，则可得到数字和的最小值8；如果某一条“线”上的8个空格中都填最大的数3，那么可得到数字和的最大值是24，由于数字及

B C

数字和均为整数，所以8到24共有17种不同的值。

我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉，而将18条“线”看作18个元素。根据抽屉原理（一），将18个元素放入17个抽屉中，一定有一只抽屉中放入至少两个元素，即18条“线”上的数字和至少有两个相同，所以不可能使18条“线”上的各个数字和互不相同。

例3. 求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得

?x1?x2???x3?x4???x5?x6?恰是105的倍数。

分析与解：而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1、x2，105?3?5?7，使得x1?x2是7的倍数，同理x3?x4是5的倍数，x5?x6是3的倍数，题目即得证。 根据抽屉原理（一），在任意8个整数中，必有两个整数被7除同余，那么，它们的差一定是7的倍数。假设这两个数为x1、x2，使得x1?x2?7k1。

在余下的6个数中，必有两个数被5除同余，这两个数的差一定是5的倍数，假设两数为x3、x4，则有x3?x4?5k2

在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，那么它们的差一定是3的倍数，假设两数为x5、x6，则有x5?x6?3k3 ?x1?x2???x3?x4???x5?x6? ?7k1?5k2?3k3 ?105??k1?k2?k3?

所以，从任意8个互异的整数中，一定可以找到6个数x1、x2、x3、x4、x5、x6，使得?x1?x2???x3?x4???x5?x6?是105的倍数。

例4. 在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意点了10个点，求证：至少有三个点，它们两两之间的距离不大于

1。 2 证明：如图，等边三角形ABC三边中点为D、E、F，DE、EF、FD把边长为1的三角形分成了四个边长为

1的正三角形。把10个点放在四个抽屉中，根据抽屉原理（二），至2少有三个点落入同一个区域里，此三个点可连成一个三角形，任意两点之间的距离不大于

1。 2

C F E A D B

例5. 一个口袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？

分析与解：四种不同色球，每次摸出两个，有多少种不同情况呢？ 分两种情况考虑：

（1）当摸出的两个球颜色相同时，有四种不同的结果。 （2）当摸出的两个球不同色时，有： 4?3?2?6（种）

将上述的10种结果作为10个抽屉。

因为要求至少10次摸出的结果相同，依据抽屉原理（二），至少要摸9?10?1?91（次）。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 某班40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，求证：其中必有两个同学是同年同月出生的。

2. 证明从1、3、5、??29这前15个奇自然数中，任取9个数，其中必有两个数之和是32。

3. 某班有41名学生，班里要建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问：小书库中至少要有多少本书，才能保证有一个同学一次至少能借到两本书？

4. 布袋中有60个形状、大小相同的木块，每6块编上相同的号码，问：一次至少取出多少块，才能保证其中至少有三块的号码相同？

5. 对于任意11个整数，证明其中一定有6个数，它们之和能被6整除。 6. 要保证在边长为1的正六边形中必有两点，使这两点间的距离小于置多少个点？

1，那么至少要放2

【试题答案】

1. 某班40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，求证：其中必有两个同学是同年同月出生的。

11岁～13岁一共12?3?36（个月）

根据抽屉原理（一）知：36个月相当于“抽屉”，40个同学相当于“元素”，其中必有两个同学是同年同月出生的。

2. 证明从1、3、5、??29这前15个奇自然数中，任取9个数，其中必有两个数之和是32。

把这15个奇自然数分类（八组） （3，29）、（5，27）、（7，25）、（9，23）、（11，21）、（13，19）、（15，17）、（1） 从中取出9个数，必会从同一组中取出2个数，那么一定会有2个数之和是32。 3. 某班有41名学生，班里要建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问：小书库中至少要有多少本书，才能保证有一个同学一次至少能借到两本书？

将41名学生看作41个抽屉，而将书看作元素，根据抽屉原理，元素的数目要比抽屉的数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的元素，所以小书库中至少要有42本书。

4. 布袋中有60个形状、大小相同的木块，每6块编上相同的号码，问：一次至少取出多少块，才能保证其中至少有三块的号码相同？

布袋中有60块木块，每6块编上相同的号码，所以共有10种编号的方法，我们将编号相同的木块看作一类，又将这十类看作10个抽屉，要保证其中一个抽屉至少有三个元素，即至少需?3?1??10?1?21个元素。

5. 对于任意11个整数，证明其中一定有6个数，它们之和能被6整除。 设11个整数分别为a1、a2??a11，因为6?2?3

（1）从11个整数中一定能找到三个数之和是3的倍数，即3?a1?a2?a3?，不妨设

a1?a2?a3?b1

从剩下8个整数中一定能再找到三个数之和是3的倍数，即3?a4?a5?a6?，不妨设

a4?a5?a6?b2.

从剩下5个整数中也一定能再找到三个数之和是3的倍数，即3?a7?a8?a9?，不妨设a7?a8?a9?b3.

b1、b2、b3都是3的倍数， （2）一定会找到两个同奇或同偶，这两个数假设是b1和b2，

则有2?b1?b2?，?b1?b2?既是3的倍数，又是2的倍数，则一定是6的倍数，所以

6?a1?a2?a3?a4?a5?a6?，也就证明了任意11个整数中，一定存在6个数之和是6

的倍数。

6. 要保证在边长为1的正六边形中必有两点，使这两点间的距离小于置多少个点？

如图，将正六边形如下分割成24块，每块中任两点间的距离均小于放置25个点。

1，那么至少要放21，所以，至少要2