高二数学教案：椭圆的简单几何性质（二）正式版

课 题：椭圆的简单几何性质（二）

教学目的：

1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质； 2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；

3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力 教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 教学难点：椭圆第二定义 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

x2y2y2x22．标准方程：2?2?1，2?2?1 （a?b?0）

ababx2y23．椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)

ab(1)范围: ?a?x?a,

y?b?y?b，椭圆落在

A1P′B2PF2A2xx??a,y??b组成的矩形中．

(2)对称性:

图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于

F1QOB1P″原点对称

原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

x2y2椭圆和x轴有两个交点A(?a,0),A2(a,0)，它们是椭圆2?2?1的顶点 椭圆和yabx2y2轴有两个交B(0,?b),B2(0,b)，它们也是椭圆2?2?1的顶点因此椭圆共有四个顶点：

abA(?a,0),A2(a,0)，B(0,?b),B2(0,b)加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点.

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭

圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比

yB2A1Oe?b2ce?1?() 0?e?1 ?aaA2B1x椭圆形状与e的关系：

e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位

置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例

直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e?1时e?1,c?a,椭圆变扁，

的特例

4. 回顾一下焦点在x轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：

(x?c)2?y2＋(x?c)2?y2＝2a ⑴

cca2?(x?c)?y?a?x?(?x)，

aac22即

(x?c)2?y2a2x?c?c ⑵ a同时还有

(x?c)2?y2a2x?(?)c?c (3) a观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义 二、讲解新课：

1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数

e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率

yN1K1PyK2N2PB2OF2A2N2F2A1F1A2K2xB1OB2N1xB12．椭圆的准线方程

A1K1F1

x2y2a2对于2?2?1，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??；

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?

cy2x2a2对于2?2?1，相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相对于上焦点

caba2F2(0,c)对应着上准线l2:y?

ca2准线的位置关系：x?a?

ca2a2?c2b2?c??焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc其上任意点P(x,y)到准线的距离：（分情况讨论）

点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆

两种不同的定义方式

（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 三、讲解范例：

x2y2??1 例1 求下列椭圆的准线方程：（1）x?4y?4 (2)

168122x2?y2?1，是焦点在x轴上且a?2,b?1，c?3的椭解：⑴方程x?4y?4可化为 422圆

所以此椭圆的准线方程为 x??43??43 3x2y2??1是焦点在y轴上且a?9,b?4，c?65的椭圆 ⑵方程

1681所以此椭圆的准线方程为 y??8165??8165 65yN1K110Px2y2??1上有一点P，例2 椭圆它到椭圆的左准10036线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离

B2OF2A1F1A2xB1x2y24??1的离心率为e?，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距 解：椭圆

100365离为 10e?8

再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 四、课堂练习：

1．求下列椭圆的焦点坐标与准线方程

x2y2??1 （2）2x2?y2?8 （1）

10036答案：⑴焦点坐标F1(?8,0),F2(8,0)；准线方程x??⑵焦点坐标F1(0,?2),F2(0,2)；准线方程x??10025?? 828??4 212．已知椭圆的两条准线方程为y??9，离心率为，求此椭圆的标准方程

3x2y2??1 答案：89五、小结 ：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线

方程也是不同的，须区别开来

ca2?x)（2） 上面(x?a)?y?(ac22ca2即(x?a)?y?(?x)?a?ex

ac22同样（3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式 六、课后作业： 七、板书设计（略）

八、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚 本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程，引导学生自己去发现椭圆的第二定义使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑 利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益

学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。