数列极限

第一章 函数、极限、连续 第二节 数列极限

有关定理及方法：（1）柯西准则（不常用） （2）夹逼定理 （3）单调有界定理 （4）数列极限与其子列极限的关系 （5）求极限常用方法：适当缩放法，利用等价无穷小，化为函数极限，利用微分学、积分学及级数的知识及方法，另外极限的定义、性质、重要极限、恒等变形、变量代换是经常用到的知识和技巧 补充：

（1） stolz定理

b?bn0型stolz定理:设{an},{bn}都是无穷小量,数列{an}严格单调减少,若limn?1?l,则有

n??a0n?1?anlimbn?l

n??anb?bn*型stolz定理:设{an}是正无穷大量,数列{an}严格单调增加,若limn?1?l,则有

n???an?1?anlimbn?l

n??ana1???an?a。又若an?0，则limna1a2?an?a

n??n11????lnn????n（??0.577?为欧拉常数， ?n?0）2n(2)均值极限:若liman?a,则limn??nn?1,na?1(a?0),1?（3）例1：设xn?1?3?(2n?1)，求limxn,limnxn，lim2n?1xn．

2?4?(2n)解：（1）由于2?1?3,4?3?5,?,2n?(2n?1)(2n?1)，所以xn?由夹逼定理知 limxn?0 或：令yn?12n?1，又xn?0

12?4???(2n)2，则xn?yn，从而xn?xnyn?

2n?13???(2n?1)（2）由于

11?xn?1，又limn?1，所以limnxn?1 2n2n2（3）（分析：(2n?1)xn?(?1?3L(2n?1)21?3???(2n?1)?2?4???(2n)2)(2n?1)?[?/]?

2?4L(2n)2?4???(2n)21?3???(2n?1)?由此想到积分In??20sinnxdx）

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?解：考虑积分 In??20sinnxdx

I2n?1?3?(2n?1)?2?4?(2n) ?，I2n?1?2?4?(2n)21?3?(2n?1)又I2n?1?I2n?I2n?1?II2n?12n?1I2n?1，故1?2n??lim2n?1 2nI2n?12nI2n?1而

I2n1?3?(2n?1)2??2 ?()(2n?1)?(2n?1)xnI2n?12?4?(2n)222所以 lim(2n?1)xn?2??lim2n?1xn?2?

例2：求limnnn!

nnbnb2nnnna?b??解：方法一 ：令an?，则 ?,b?n1nnbbn!n!n!1n?1n而limbnnn?1?lim()?e，故liman?e bn?1n?1nlnn?(ln1?ln2???lnn)xn?，其中xn?nlnn?(ln1?ln2???lnn)

nn方法二： lnan?又 limxn?1?xnn?1?limnln?1，所以 limlnan?1，从而liman?e

(n?1)?nn111nk方法三：limlnan??lim(ln1?ln2???lnn?nlnn)??lim?ln???lnxdx?1

0nnk?1n所以 liman?e

例3：求limn(n?1?n?1?2n)

32分析：n(n?1?32n?1?2n)?n2(1?11?1??2)?nn1?11?1??2nn

1n2只须求出函数极限 limx?011?x?1?x?2?，便可得结果。此函数极限可用洛必塔法则求出： 24x Page 2 of 13

或用泰勒公式去求：1?1111111?1????(?1)?2??(2) n2n2!22nn1?1111111?1????(?1)?2??(2)， n2n2!22nn322故 n(n?1?n?1?2n)?n(1?1111?1 ?1??2)?n2(?2?o(2))?nn44nn1f(a?)n)n 例4：设f?(a)存在，且f(a)?0，求lim(1f(a?)n1f(a?)n?1，该极限属于1?型的问题，一般可利用重要极限或利用指数、对数去分析：易见

1f(a?)n解决：

nn111f(a?)f(a?)?f(a?)1nnn??1111f(a?)?f(a?)f(a?)nnnn1?11?11????f(a?f(a?)?f(a?)f(a?)?f(a?)?n???1?nn???1?nn???????111?f(a?)?????f(a?)f(a?)?????n?nn??????或：若f(a)?0

2f(a)11)??f(a?1n(lnf(a?)?lnf(a?))nnn?ef(a) ?1??e?f(a?n)???n??e2f?(a)f(a)若f(a)?0，同样可求出答案

例5：设an?1?12???1n?2n，证明{an}收敛

分析：为证数列收敛，我们首先想到用收敛准则 先看是否单调：

an?1?an?1n?11?2(n?1?n)?1n?1?2n?1?n?n?n?1n?1(n?1?n)?0

可见该数列单调减少，下面再说明有下界：

1??21x1dx,?,n??n?11xndx，an??n?11x1dx?2n?2n?1?2?2n??2

由此可得结论．这个方法很常规，本题证明有界性不易，本题利用级数的知识证数列收敛更容易：

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0?an?an?1?1n?1(n?1?n)2?1nn

由正项级数审敛法知

?(an?1?n?an?1)收敛，从而数列{an}收敛．

注：利用级数的知识去说明数列收敛一般有两种情况： （１） 若

?an?1?n收敛，则liman?0

??（２） 数列{an}收敛?级数

??(an?1n?an?1)收敛（或级数?(an?1?an)收敛）

n?1例６：设级数

?an收敛，数列{pn}严格单调增加，且limpn???，求limn?1p1a1??pnan

pn解：令An?a1???an，则an?An?An?1(n?2),a1?A1 由题设limAn?A存在，

p1a1?L?pnanp1A1?p2(A2?A1)?L?pn(An?An?1)?pnpn?pnAn?[An?1(pn?pn?1)?????A1(p2?p1)]B?An?npnpn

其中Bn?A1(p2?p1)???An?1(pn?pn?1) 而limBnB?Bn?limn?1?limAn?A pnpn?1?pnp1a1??pnan?A?A?0

pn故lim练习题

１．(1)limn(a?an)（a?0)1n12，（2）limnln(nsin)21n，（3）设

111nnsin?xn?(n?2)sin，求lim?xk （4）lim(?1)nnsinn2?2?

n?1n?1nk?1（提示：由拉氏中值定理 a?an?a(1n12?11?2)lna，易得结果：lna。或通过求函数极限 nn Page 4 of 13