(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教案(含解析)

题型三 等比数列性质的应用

1

例2(1)(2018·钦州质检)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋

8

1

(n∈N)的最小值为( )

*

8

A.B．1C．2D．3 3答案 C

a513

解析 由已知得数列{an}的公比满足q＝＝，

a28

11

解得q＝，∴a1＝2，a3＝，

22故数列{anan＋1}是以2为首项，公比为

a2a31

＝的等比数列， a1a24

??1?n?2?1－?????4??

∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝

11－4

8??1?n??8?＝?1－???∈?2，?，故选C. 3??4???3?

(2)(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于( ) A．－9B．－21C．－25D．－63 答案 B

解析 因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)，所以S6＝－21，故选B. 思维升华等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：

2

9

(1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．

(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

跟踪训练2(1)等比数列{an}各项均为正数，a3a8＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋

log3a10＝.

答案 20

解析 由a3a8＋a4a7＝18，得a4a7＝9 所以log＝log＝log＝20.

3a1＋log3a2＋…＋log3a10

(a1a2…a10)＝log(a1a10)5 333(a4a7)5＝log39＝2log33

510

S38an＋1

(2)(2018·新乡模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(n≥2，且

S69an－an－1n∈N)．

1

答案 －

2

解析 很明显等比数列的公比q≠1，

a1(1－q)1－qS318

则由题意可得，＝3＝， 6＝S6a1(1－q)1＋q9

1－q3

1

解得q＝，

2

an＋1an－1q2q2

则＝＝＝an－an－1an－1q－an－1q－11

1＝－. 2

－12

14

10

等差数列与等比数列

关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．

例1(2018·蓉城名校联考)已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则

a3＋a6＋a11

的值为( )

a1＋a8＋a10

1312111A.B.C.D. 1413123答案 A

解析 已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列， ∴a5＝a2a7，∴(a1＋4d)＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，∴＝

3a1＋17d－30d＋17d13

＝＝. 3a1＋16d－30d＋16d14

2

2

2

a3＋a6＋a11a1＋a8＋a10

例2 (2018·烟台质检)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为( ) A．3n＋1 3n＋nC. 2答案 C

解析 ∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1， ∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1， 又数列{an}为等比数列， ∴数列{an}的公比为q＝3，

2

B．3n－1 3n－nD.

2

2

11

∴bn＋1－bn＝

an＋1

＝3， an∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列， ∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋

n?n－1?

23n＋n×3＝.故选C.

2

2

1．(2018·重庆巴蜀中学月考)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为( ) A．±2 C．±2 答案 A

解析 根据等比数列的性质可得a3·a7＝a5＝a1·q＝q＝16＝2， 所以q＝2，即q＝±2，故选A.

2

2

2

8

8

4

B.2 D．2

12