《平面向量数量积的坐标表示》教案(1)(1)

平面向量数量积的坐标表示

教学目标：

掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 教学重点：

平面向量数量积的坐标表示. 教学难点：

向量数量积的坐标表示的应用. 教学过程： Ⅰ.课题引入

上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a和b的坐标表示a·b呢?

这是我们这一节将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课

首先我们推导平面向量的数量积坐标表示： 记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j

22

∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j＝x1x2＋y1y2 1.平面向量数量积的坐标表示： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ∴a·b＝x1x2＋y1y2

2.两向量垂直的坐标表示： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

则a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0

［例1］已知a＝(1，3 )，b＝(3 ＋1，3 －1)，则a与b的夹角是多少?

分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝(1，3 )，b＝(3 ＋1，3 －1)

有a·b＝3 ＋1＋3 (3 －1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝22 .

a·b2

记a与b的夹角为θ，则cosθ＝ ＝

｜a｜｜b｜2

π

又∵0≤θ≤?， ∴θ＝

4

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.

解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y) 又(xa＋yb)⊥a?(xa＋yb)·a＝0 ?3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0

即25x＋24y＝0 ①

2

又｜xa＋yb｜＝1?｜xa＋yb｜＝1 ?(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1

22

整理得：25x＋48xy＋25y＝1

2

即x(25x＋24y)＋24xy＋25y＝1

②

2

由①②有24xy＋25y＝1

③

5

将①变形代入③可得：y＝±

724

再代入①得：x＝

35

2424??x?x??????3535∴?或? ?y??5?y?5?7?7??→→

［例3］在△ABC中，AB＝(1，1)，AC＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.

→→

解：若A＝90°，则AB·AC＝0， ∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2

→→→→→

若B＝90°，则AB·BC＝0，又BC＝AC－AB＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1) 即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0

→→2

若C＝90°，则AC·BC＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k－k＋2＝0无实根，

所以不存在实数k使C＝90°

综上所述，k＝－2或k＝0时，△ABC内有一内角是直角.

评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.

→

［例4］已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且AP＝

tAB (0≤t≤1)，则OA·OP的最大值是多少?

→→→→

解：设P(x，y)，则AP＝(x－a，y)，AB＝(－a，a)，由AP＝tAB可有：

→→→

?x?a??at?x?a?at，解得? ?y?aty?at??→→

∴OP＝(a－at，at)，又OA＝(a，0)， →→22∴OA·OP＝a－at

∵a＞0，可得－a＜0，又0≤t≤1，

→222

∴当t＝0时，OA·OP＝a－at，有最大值a.

［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？

2

解法：(3a＋5b)·(ma－3b)

22

＝3m｜a｜－9a·b＋5ma·b－15｜b｜

＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0 8729

∴m＝ ＝ 时，(3a＋5b)⊥(ma－3b).

4214

Ⅲ.课堂练习

课本P82练习1～8. Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业

课本P83习题 6，8，9，10

平面向量数量积的坐标表示

1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为 （ ） A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对

2

2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|－4a·b为 （ ） A.63 B.83 C.23 D.57 3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于 （ ） A.－23

77

B. C.－

23

7

D.－ 4

4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）

10

A.（ ，+∞）

3

10

B.［ ，+∞）

310

D.（－∞， ］

3

10

C.（－∞， ）

3

13 13

5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为 （ ） A.－

B.

13

C.0 13

D.1

6．已知向量c与向量a＝（3 ，－1）和b＝（1，3 ）的夹角相等，c的模为2 ，则 c＝ . 7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且a·b＝10，则b在a上的投影为 . 8．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：

①|a|＝x1＋y1 ②b＝x2＋y2 ③a·b＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥b?x1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 . 9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），

222

22→→（1）求证：AB⊥AD ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.

10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？