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6基于反正切窗函数的插入法

在对比文章中，我们给出了两个基于反正切窗函数的DFT频率估计器，这两个估计器适用于矩形窗和正弦窗。第一个估计器使用了

和

，

两个最大的DFT谱线，因为两条DFT线和矩形窗频率回应的主波瓣是匹配的：

对于复杂的正弦声波和不存在噪声的情况是非常精确的。然而，对于真是的正弦声波，此频率插入的精确度取决于l和?l，并独立于正弦声波的振幅和相位。对l的依赖性可以通过较小的l进行确定，在l为20或更小时，泄漏会非常明显，并且会引入系统系估计误差。

第二个估计器使用了三个最大的DFT二进制，因为这三个DFT二进制和正弦窗频率回应的主波瓣是匹配的。考虑下面的公式：

其中，

，

，这表明精确的频率可以估算为

的频率被估算为在0.0至0.5之间。

在第一种情况下，当0.0

时，

是本地最大值，

；而当精确

。因此，?l的估算必须

式得到改进的估计精确值，进而得到：

当

，时，可以通过使用公式

9

得到改进的估计精确值，进而得到：

极小极大场景中优化的估计误差可以确定为r、G和F。 在第二种情况下，可以在重新确定得同样的表达方式。

由文献[18]可知，与二进制宽度相关的最大绝对估计误差通常小于0.1%。

和

之后获

7仿真

本节中我们评价了基于矩形窗的频率估计器的相对性能，此估计器在第四部分中有所描述，并且包含反正切窗函数估计器和第五部分中给出了基于汉宁窗的频率估计器的相对性能，还包含结合公式（20）和（21）得到的反正切窗函数估计器。

A基于矩形窗的插入的性能

得到的基于DFT的频率估计器的仿真分别记为Jain79、Quinn97、Macleod98、反正切窗函数和Jacobsen79，并且和公式（9）、（10）、（11）、（18）和（12）是相关的。

图1给出了使用二进制宽度标准化之后每一个频率估计器引起的误差方差的平方根。可以得到的结论是可以确定三个区域，这三个区域中特定的估计器给出了获得CRLB的优势：

1）对于性噪比处于-10dB至0dB之间的区域，Jain70和反正切窗函数的估计器相对于其余估计器来说具有很小的优势；

2）对于性噪比处于0dB至10dB之间的区域，Macleod98的估计器相性能出了边缘相对优势；

3）对于性噪比大于10dB的区域，Jacobsen07没有竞争对手。

总之，尽管在中等（例如10dB附近）和较高的性噪比时，所有的频率估计器都性能在RMSE附近或者比二进制宽度的0.02%还要好，这对于研究的目的是可以接受的，由于在非常低的性噪比时性能很差，因此需要Quinn97应该避免，而在较高的性噪比时具有很好的性能，因此最好选择Jacobsen97估计器。结果表明Jacobsen97估计器不仅能够消除“统计偏差”，而且能够稳定谐波干扰。

最后的评论考虑了Jain79和反正切窗函数估计器之间非常类似的性能，以

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及相对于剩余基于矩形窗的估计器来说较差的整体性能。一种可信的解释为这些估计器只是用了来自两个DFT二进制的振幅信息，而剩余的三个估计器使用了来自三个DFT二进制的振幅信息和相位信息。

图1 以性噪比为根据时五种基于矩形窗的频率估计器的RMSE（占标准化二进制宽度的%）。以CRLB为

参考。

图2除了目标声波之外，当干扰声波为10二进制左右时且以性噪比为根据时六种汉宁/正弦窗基频率估计

器的RMSE（占标准化二进制宽度的%）。以CRLB为参考。

B基于汉宁/正弦窗的插入的性能

对于基于DFT的频率插入获得的仿真可以分别确定为Grandke83、Macleod98、Quadratic、Quinn06、反正切窗函数和Jacobsen79，并且和公式（13）、（14）、（15）、（16）、（20-21）和（17）是一致的。

由每个频率估计器导致的与标准化误差方差有关的结果见图2，这些结果表明，对于性噪比为15dB或者更大时，Quadratic估计器的性能是第一个需要饱和

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的，其次是性噪比为30dB或者更大时Jacobsen07估计器的性能，然后是性噪比为40dB左右时反正切窗函数S估计器的性能。剩余三个估计器在与CRLB具有几乎相同的距离时具有类似的趋势。

然而，非常有趣的是，与其余估计器相比，反正切窗函数S估计器性能出了边缘优势，这是因为当性噪比在0-30dB之间时，标准化的RMSE能够达到更好的CRLB。

为了更好的理解不同正弦声波（可能是谐波正弦声波）之间的贴近程度如何影响其性能的，使用5二进制代替10二进制将目标正弦声波周围的两个正弦声波分开。最新测试环境的仿真见图3。图3反映了由于干扰声波对目标声波的贴近性而对RMSE性能的影响，具有很好的教育意义。实际上，所有频率估计器的性能饱和都处在10dB 性噪比至30dB 性噪比 之间。然而，可以确定的是，当性噪比处于0dB至20dB之间时，反正切窗函数S估计器与剩余的频率估计器相比保持着边缘优势，这是由于其RMSE能够得到更好的CRLB导致的。这个事实可能与窗的选择性有关。

图4代表经过汉宁或正弦窗处理后结果信号的短时间傅里叶谱图。可以看出，在这种情况下，不同的正弦声波之间具有更好的分离。另一方面，正弦窗比汉宁窗具有更好的选择性。

图3除了目标声波之外，当干扰声波为5二进制左右时且以性噪比为根据时六种基于汉宁/正弦窗的频率估

计器的RMSE（占标准化二进制宽度的%）。以CRLB为参考。

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