当前位置：首页 > 最佳促销模型--浙江师范大学“同梦杯”第十一届数学建模校赛A题
符号说明
a 商品销售价格的初始值
m 商品销售价格的变动值
b 商品销售量的初始值
n k c x y f g h p r v ? ? ?
商品销售量的变动值
市场弹性系数
单件商品的成本
商品销量的最终值
商业最终利润值
商品价格变动与销售量变动的函数关系 与函数f互为反函数
生产者的产值 生产者的成本
生产者的利润
顾客流量
购买量与顾客流量的比例系数
促销效果
促销效果对商品销售量的影响系数
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模型建立
4.1 问题一分析：
随着经济的飞速发展，市场竞争也逐渐加大，经营者为了在市场上得到更多的份额，纷纷采取各种促销手段，通过增加顾客流量来提升商业利润。根据模型假设，近似认为顾客流量与商品销售量之间存在直接联系，通过引进中间变量价格、销售量，分析顾客流量与商业利润之间的函数关系。由于不同商品销售变动与销售价格变动的函数关系不同，因此，我们采用从特殊到一般，即从线性关系到非线性关系的方式将问题量化，并进行推导解答。
4.1.1模型Ⅰ：基于随单价增涨销售量呈线性递减关系的函数模型 顾客流量与购买者数量之间存在正相关性，顾客流量的增大，会直接增加商品潜在购买者的数量，潜在购买者数量的增加将导致销售量的增加，根据假设购买者每人购买商品的数量为一件，不妨令顾客流量v与购买量x（即销售量）之间存在一次函数的关系，且比例系数为
?。
即满足：v???x
顾客流量?比例系数?销售量设价格为a时，商品的销售量为b，当商品价格变动与销售量成线性函数关系，即价格变动一个单位，销售量变动为k个单位时，即市场弹性系数为k，可得如下销售量的图表：
表1：价格与销售量 ... ... a?1 a?m a a?1 价格 销售量 b?k?m ... b?k?1 b b?k?1 ...
根据商业利润?（单位售价?单位成本）?销量 将表格中的数据代入经济学方程，得
a?m b?k?m y??a?m?c???b?m?k?
设销售量整体为x，销售量x与价格变动值m的函数关系为 x?b?m?k 则 m??b?x?/k
将函数m?m?x?代入经济学方程得到
y???a??b?x?/k?c???x
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?x2?b?y???a??c??xk?k? 整理后的方程为
即当商品的价格变销售量成线性函数时，销售量与利润成二次函数关系，且函数
曲线开口向下，即商业利润先随销量增加而增加，后随销售量的增加而减少，函数图像如图1所示：
图 1
?2b???x??a??c??0k??据图分析，当y'=0即k时利润最大，在曲线上所对应的坐标
?a?k?c?k?b?,y|a?k?c?k?b??x?2?2? 为
由此我们得出，在满足商品价格变动与销售量成线性函数关系时，当顾客
ak?ck?bak?ck?bv?()??22销售量x为 ，商业利润最大，即当顾客流量 时
取得商业利润最大值。
4.1.2模型Ⅱ：基于随单价变动销售量呈非线性关系的函数模型
同理根据顾客流量与购买者数量之间存在正相关性系数
?，
引进销售量与价
格作为中间变量进行研究，当商品价格变动与销售量成非线性关系，即销售量变动值n是随商品价格变动值m变化的函数时，运用“常数变易法”，设n?f(m)，其中f为单值连续函数，则销售价格与销售量的对应关系如表2：
表 2： 销售价格与销量 价格 销售量
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a-m b+f(-m) ? a-2 ? b+f(-2) a-1 b+f(-1) a a+1 b b+f(1) a+2 b+f(2) ? a+m ? b+f(m)
商业利润=(单件售价-单件成本)?销售量 根据模型Ⅰ得
y?(a?m?c)?(b?n) (1) 将n?f(m)带入(1)式，得
y?(a?m?c)?[b?f(m)]
设销售量为x，即 x?b?f(m)， 设g与f互为反函数，推出m?g(x?b)， 所以
y?[a?g(x?b)?c]?x
将方程进行化简，可得
y?(a?c)?x?x?g(x?b) (2)
由于销售量与顾客流量之间满足线性关系
v???x (3)
将(3)式带入(2)式中，可推导出商业利润与顾客流量所满足的函数关系。
y?(a?c)?v?vv?g(?b)???
由模型Ⅱ，我们可以分析出，当商品价格与销售量呈非线性关系时，商业利润与顾客流量并不满足二次函数关系，因为g是f的反函数，商业利润与顾客流量的函数关系取决于函数g的性质，一定程度上反映为商品价格与销售量的函数关系，不同的商品具有不同的商品价格与销售量的关系。
在针对特定商品的分析时只要能够确定商品价格与销售量的函数关系，即可推到出商业利润与顾客流量的函数关系。
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