现代控制理论教案

又Y (s)和X1(s)之间的传递函数为

Y(s)?(s?1)(s?4) X1(s)故Y(s)与U(s)之间的传递函数为

Y(s)(s?1)(s?4) ?U(s)(s?1)(s?2)(s?3)显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。

第四节 离散系统的能控性和能观测性

【教学目的】 掌握离散系统的能控性、能观性的概念及其判据。 【教学重点】 线性定常离散系统的能控性、能观性的判断。 【教学难点】 能控性、能观性判据概念的理解。 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】3-9，3-10 【学时分配】2学时 【教学内容】 一、能控性定义

关于离散系统的能控性和能观测性问题，几乎与连续系统完全类似地有一套相应的理论和方法。因此本节只作扼要地介绍。线性定常离散系统方程为

x(k?1)?Gx(k)?Hu(k) （3-9）

y(k)?Cx(k)其中x(k)、u（k）、y（k）分别为n、r、m维向量，G、H、C为满足矩阵运算的矩阵。

对系统(3．33)的任一初始状态x(0)，存在k＞0，在有限时间区间[0，k]内，存在容许控制序列u（k），使得x(k)＝0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。由于在k时刻，有x(k)=0，有的书称为第k步能控。如果在有限时间区间[0，k]内，存在容许控制序列u（k），将系统从状态空间坐标原点x（k）＝0推向预先指定的状态x(k)，则称为能达性。在连续系统中，系统的能达性与能控性是等价的，而离散系统的能达性与的控性之间关系如何呢?离散系统与连续系统略有差别。在离散系统中，如果系数矩阵G是非奇异的．则能达性与能控性等价。也就是说，离散系统中的能达性和能控性等价是有条件的。 二、能控性判据

线性定常离散系统能控的充要条件为Qc?HGH?Gn?1H 满秩。 例3-11 线性定常离散系统状态方程为

?100??1??x(k)??0?u(k) x(k?1)??02?2????????110????1????试判别系统的能控性。

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11??1??3?n 026解：rank(Qc)?rank[H,GH,G2H]?rank??????1?11??故系统能控。

三、能观性定义

对于系统(3—9)，根据有限个采样周期y（k），可以唯一地确定系统的任一初始状态x(0)，则称系统是状态完全能观测的，简称系统是能观测的，有的书称为第k步能观测。同样也可以讨论系统的能检测性，而且离散系统的能检测性、能观测性之间的关系与连续系统略有差别。在离散系统中，只有系数短阵G是非奇异时，能检测性与能观测性才是等价的，也就是说，离散系统的能检测性和能观测性是有条件的等价。 四、能观测性判据

系统(3-9)能观测的充分必要条件是nm?n型能观测性矩阵Q0的秩为n。即

?C??CG???n rankQ0?rank?????n?1??CG?例3-12 线性定常离散系统方程为

?100??1??x(k)??0?u(k) x(k?1)??02?2????????110????1??y(k)??111?x(k)

试判别系统的能观测性。

?C??111???rank?03?2??3?n rank(Q0)?rank?CG????2???CG???24?6??故系统能观测。

第五节 对偶原理

下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。 考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：

??Ax?Buxy?Cx （3-10）

式中，x?Rn,u?Rr,y?Rm,A?Rn?n,B?Rn?r,C?Rm?n。

系统能控性是研究输入u（t)与状态x(t)之间的关系，而能观测性是研究输

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出y（t)与状态x(t)之间的关系。通过上面的讨论可以看到，能控性与能观测性，无论在概念上还是判据的形式上，都很相似。它给人们一个启示，即能控性与能观测性之间存在某种内在的联系。这个联系就是卡尔曼提出的对偶性。

现在．我们来构造一个系统

TT??A??C? （3-11）

???BT?其状态图如下所示。

对偶系统有两个基本特征：

1．对偶的两个系统传递函数阵互为转置 2．对偶的两个系统特征值相同

3. 线性定常系统(3—10)和系统(3—11)为对偶系统，系统(3—10)的能控性等价于系统(3—11)的能观测性；而系统(3—10)的能观测性与系统(3—11)的能控性等价。这就是对偶原理。

例3—14 线性定常系统方程为

?001??1??x??0?ux?Ax?Bu??100????

???010???0??y?Cx??001?x?试判别系统能观测性。

解 该题可以宜接检查能观测性短阵的秩来判grj系统能观测性。但是为了熟悉对偶原理的应用，下面用检查其对偶系统能控性来判别系统能观测性。该题的对偶系统为

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?010??0?????0????AT??CT???001????

???100???1????BT???100????0能控性矩阵 Qc???0??11000?1??,rankQc?3?n 0??对偶系统能控。根据对偶原理知，原系统能观测。

实际上

?C??001????010?,rankQ?3?n，系统能观测，与按对偶CA Q0??0????2??CA????100??原理判别结果一致。

小 结

能控性和能观测性是系统定性分析的重要内容之一。本章介绍能控性和能观测性的定义，导出了线性系统能控性、能观测性的定理。其中定理3—6和定理3—14是本章两个基本结果。因为导出它们所用的假定最少(只需假定连续性)，因此可以最广泛地应用。若引入附加假定(连续可微性)，则得到定理3—8和定理3—15，它们虽仅给出充分条件，但易于应用。对于线性定常系统，可以得到系统能控和能观穗的充分必要条件。如果将能控性、能观测性的定理一一对应列出，持会发现其间的对偶性。对偶原理搭起了控制问题和估计问题的桥梁，在理论和实际两方面具有很大意义。

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