现代控制理论教案

第二节 能观测性及其判据

【教学目的】 掌握系统的能观性的概念及其判据。 【教学重点】 线性连续定常系统的能观性的判断。 【教学难点】 能观性判据概念的理解。 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】3-2 【学时分配】2学时 【教学内容】

现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式

??Axxy?Cx式中，x?Rn,y?Rm,A?Rn?n,C?Rm?n。

(3-6)

如果每一个状态x(to)都可通过在有限时间间隔to≤t≤t1内，由y(t)观测值

确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设to=0。

能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。

在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3-6）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式

??Ax?Bu xy?Cx?Du则

x(t)?eAtx(0)??eA(t??)Bu(?)d?ot

从而

y(t)?CeAtx(0)?C?eA(t??)Bu(?)d??Du

to 由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（3-6）所描述的零输入系统就可以了。 判据一、线性定常系统状态能观测性及其判据

考虑由式（3-6）所描述的线性定常系统。将其重写为

??Axxy?Cx

易知，其输出向量为

y(t)?CeAtx(0)

将eAt写为A的有限项的形式，即

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e???k(t)Ak

Atk?0n?1因而

y(t)???k(t)CAkx(0)

k?0n?1或

y(t)??0(t)Cx(0)??1(t)CAx(0)????n?1(t)CAn?1x(0) (3-7) 显然，如果系统是能观测的，那么在0≤t≤t1时间间隔内，给定输出y(t)，就可由式（3-7）唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nm×n维能观测性矩阵

?C??CA?? R??????n?1??CA?的秩为n。

由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式（3-6）所描述的线性定常系统，当且仅当n×nm维能观测性矩阵

n?1TRT?[CT?ATCT??（?AT）C]

的秩为n，即rankRT?n时，该系统才是能观测的。此为判据一。 [例] 试判断由式

?1??1?x?x????2??2??1??x1??0????u????1??x2??1??x1?y??10????x2?所描述的系统是否为能控和能观测的。 [解] 由于能控性矩阵

?0Q?[B?AB]???11? ??1?的秩为2，即rankQ?2?n，故该系统是状态能控的。

对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于

Q'?[CB?CAB]??01?

的秩为1，即rankQ??1?m，故该系统是输出能控的。

为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于

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?1RT?[CT?ATCT]???01? ?1? 的秩为2，rankRT?2?n，故此系统是能观测的。

判据二、状态能观测性条件的标准形判据

考虑由式（3.13）和（3.14）所描述的线性定常系统，将其重写为

??Axxy?Cx (3-8)

? 设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，如果m×n维矩阵C的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。

如果不能将式（3-8）变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵P，将其中的系统矩阵A变换为Jordan标准形。系统能观测的充要条件为：（1）J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵C列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵C列中，没有一列包含的元素全为零。为了说明条件(2），在下例中，对应于每个Jordan块的第一行的C列之元素用下划线表示。 [例] 下列系统是能观测的：

?1???10??x1??x?x1??,y?[13]?x???x??????2??0?2??x2??2??1??210??x1??x?y??30?x?2???021??x2?,?1??????????y2??40???????002xx??3??3??????x1?0???x2???0???x3???x1??x?2100????x3??110????x4??x5???

?1??2100??x1??x?x??x??2??021?????2??y??11?x??x3?,?1????3???002???????y2??01??31x?4????x4??x??0?0?3?????5???x5?显然，下列系统是不能观测的：

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?1???10??x1??x?x1??x???0?2??x?,y?[01]?x????2??2???2??1??210??x1??x?y??01?x?2???021??x2?,?1??????????y2??02???????002xx??3??3???1??21?x?x?2??02????x?3???00????4???x??5??x???00?x1?3???x2???4???x3??

0??x1??x??1??y??11100??2??x3??,?1???2?y01100?????31??2???x4??x5?0?3????

判据三、用传递函数矩阵表达的能观测性条件

类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。 [例3.6] 证明下列系统是不能观测的。

??Ax?Buxy?Cx

式中

?x1??,x??x2????x3???0A???0???610?110??0??0?,C??451?,B?????6???1??1?

[解] 由于能观测性矩阵

?4RT?[CT?ATCT?(AT)2CT]???5??1?6?7?16?5?? ?1??注意到

451?6?7?165?0 ?1即rankRT?3?n，故该系统是不能观测的。

事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X1(s)和U (s)之间的传递函数为

X1(s)1? U(s)(s?1)(s?2)(s?3)20