现代控制理论教案

实验一 状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解

【实验目的】 借助Matlab工具在计算机上实现前二章所讲的 重要内容。

【实验重点】 各种不同状态方程之间的转换及状态方程的求解、 【实验难点】 对角型、约旦型、模态型的转换 【教学方法及手段】 上机实验。

【课外作业】认真写实验报告，复习巩固实验内容 【学时分配】2学时

第三章 控制系统的能控性和能观测性

【教学目的】 掌握系统的能控性的概念及其判据。 【教学重点】 线性连续定常系统的能控性的判断。 【教学难点】 能控性判据概念的理解。 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】3-1 【学时分配】2学时 【教学内容】

在经典控制理论中，着眼点在于研究对系统输出的控制。对于一个单输入—单输出系统来说，系统的输出量既是被控量，又是观测量。因此，输出量明显地受输人信号控制，同时，也能观测，即系统不存在能控、不能控和能观测、不能观测的问题。 现代控制理论着眼点在于研究系统状态的控制和观测。这时就遇到系统的能控性和能观测性问题了。

能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。

通过例3-1、3-2可知，研究系统的状态变量与输人信号之间的关系时，存在能控与不能控的问题。

系统能观测问题是研究测量输出变量y去确定系统状态变量的问题。通过例3-3可知，状态x存在能观测和不能观测的问题。

至此，我们可以知道，在基于状态空间描述的现代控制理论中，存在状态能控性和能观测性问题。这是两个反映系统构造特性的基本概念。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。

第一节 能控性及其判据 一、线性定常系统的能控性及其判据 (一)能控性定义

线性定常系统状态方程为X=AX?BU （3-1） 其中x、u分别为n、r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的一个初始状态可为x(t0)（t0可为0），如果在的有限时间区间[t0，t1]内，存

13

?在容许控制u（t）使x(t1)＝0，则称系统状态在t0时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。 由这个定义可知：

1)系统能控性定义中的初始状态x(t0)是状态空间中任意的非零有限点，控制的目标是状态空间坐标原点(有的文献称为达原点的能控性)。 2)如果在时间区间[t0，t1]内存在容许控制u（t），使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态x(t1)，则称为状态能达性。由于连续系统状态转移矩阵是非奇异的．因此可以证明系统能控性与能达性是等价的。 ·

3)在能控性研究中，我们考察的并不是x(t0)推向x(t1)＝0的时变形式，而是考察能控状态在状态空间中的分布。很显然，只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。 (二)能控性判据

判据一：若式（3-1）系统能控，则n?n能控性矩阵

Qc??BABA2B...An?1B? 满秩。即

rank(Qc）?n

判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。

[例] 考虑由下式确定的系统：

?1??11??x1??0??x????u ?x???????2??0?1??x2??1?由于

11detQ?det[B?AB]??0

00即Q为奇异，所以该系统是状态不能控的。 [例] 考虑由下式确定的系统：

?1??11??x1??0??x ???????u (3-2) ?????x2??2?1??x2??1? 对于该情况，

detQ?det[B?AB]?01?0 1?1即Q为非奇异，因此系统是状态能控的。

判据二：由于状态能控的条件是A的特征向量互异，关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。

考虑（3-2）的线性系统。 如果A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P可将A阵转换为对角阵，当且仅当转换后的输入矩阵B没有一

14

?行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。如果式（3-2）中的矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。例如，若A的特征值分别λ1,λ1,λ1,λ4,λ4,λ6,?,λn,并且有n - 3个互异的特征向量，那么A的Jordan标准形为

??1?0??0???J??????????0101?10?1?401?4?6???0??????? (3-3) ????????n??与每个Jordan块最后一行相对应的??S?1B的任一行元素不其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan块。

假设能找到一个变换矩阵S，使得

S?1AS?J

如果利用

x = S z

定义一个新的状态向量z，将式（3-4）代入式（3-2）中，可得到

(3-4)

??S?1ASz?S?1Buz?Jz??u (3-5)

从而式（3-5）确定的系统的状态能控性条件可表述为，当且仅当：（1）式（3-3）中的矩阵J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；（2）全为零；（3）对应于不同特征值的??S?1B的每一行的元素不全为零时，则系统是状态能控的。

[例] 下列系统是状态能控的：

?1???1?x???x???2??00??x1??2????u ????2??x2??5?15

?1???1?x?x?2???0?????3??0?x???1???2?x?x?2??0????x?3???0????4???x?x5?????01?101?200??x1??0??x???4?u0???2????2????3???x3???01?2?500??x1??0??x??0??2????x3???3??????x4??0??2????x5??1? ?0??u1??0???u0??2?1??1?5 下列系统是状态不能控的：

?1???10??x1??2??x??x??0??x???0?u??2??2????2???1???1?x?2???0 ?x?????3??0?x???1???2?x?x?2??0????x?3???0????4???x?x??0??5??1?101?200??x1??4?x???00???2???2????3?x3???01?2?502??u1?? 0???u?2?0??0??x1??4???x??2???2?????x3???1?u?????1??x4??3???0??5?????x5??

判据三： 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件

状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。

状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。 [例] 考虑下列传递函数：

X(s)s?2.5 ?U(s)(s?2.5)(s?1)显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。

当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为

?1??01??x1??1??x??x??2.5?1.5??x???1?u ???2????2?? 由于

?1[B?AB]???11? ?1?即能控性矩阵[B?AB]的秩为1，所以可得到状态不能控的同样结论。

16