现代控制理论教案

y(k)?Cx(k)??0u(k) G、H、C同上

讲清例1-6并要求画出状态图 3）脉冲传递函数（矩阵）

Gyu(z)?C[zI?G]?1H?D， （1-10）

通过例1-7搞清离散系统的传递函数矩阵的求法。

第五节 线性变换

【教学目的】 通过研究线性变换关系得到便于应用且简单的状态空间表达式 【教学重点】 各种标准的状态空间表达式，如能控、能观、对角、约旦型。 【教学难点】 非奇异变换阵的选取 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 1-11，1-12 【学时分配】 2学时 【教学内容】

1）等价系统方程

线性定常系统的方程为 X?AX?bu y?CX?du

通过线性变换 x?Px，A?PAP，B?PB，C?CP，D?D

．???于是转换后的系统方程为：?Ax?Bu

x????1???1? y?Cx?Du

2)线性变换的基本特性

a、 线性变换不改变系统特征值；b、线性变换不改变系统的传递函数矩阵。 3）化系统矩阵A为标准形

a、化A为对角阵；讲例1-8，1-9 b、化A为约当阵

例：考虑由下式确定的系统：

???Y(s)s?3?2U(s)s?3s?2

试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。

解：能控标准形为：

?1(t)??01??x1(t)???0?u(t)?x??2(t)????2?3????1???x???x2(t)???y(t)?[31]?x1(t)???x2(t)??能观测标准形为：

5

?1(t)??x??x(t)???2?y(t)?[0对角线标准形为：

?0?2??x1(t)???3?u(t)??1?3????1???x2(t)???x(t)1]?1???x2(t)??

?1(t)??x??x(t)???2?y(t)?[2讲例1-10化A为约旦型。

??10??x1(t)???1?u(t)??0?2????1???x2(t)???x(t)?1]?1???x2(t)??

小 结

本章介绍了状态空间描述和传递函数短阵描述。介绍了从状态变量的定义、状态变量的选取到建立状态空间表达式的整个过程,对于线性定常系统，在初始松弛情况下，也可以来用传递函数矩阵描述。这两种描述在系统分析和设计中都有应用。至于采用何种描述，应视所研究的问题以及时这两种描述的熟悉程度而定。

一个系统，状态变量的数目是唯一的，而状态变量的选取是非唯一的。选取不同助状态变量，建立的状态空间表达式亦异。它们之间可以通过线性变换进行转换。本章介绍了线性变换定义、基本持性以及应用变换的方法获得几种标准形。线性变换的方法相当重要，本门课程很多章节中均要应用。

传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关，即系统状态变量的不同选择，传递函数(短阵)是不改变的。

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第二章 线性控制系统的运动分析

第一节 线性定常系统齐次状态方程的解 状态转移矩阵（由定义求eAt，由拉普拉斯变换求eAt）

【教学目的】 了解状态转移矩阵的基本概念及求法 【教学重点】 状态转移矩阵的两种求法 【教学难点】 由拉普拉斯变换求eAt 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 2.1 【学时分配】 2学时 【教学内容】

1)齐次方程ｘ＝Ａｘ的解为x(t)?e2)状态转移矩阵的基本性质.P41 [例2．1] 试求如下线性定常系统

。Atx(0)；

?1??01??x1??x??2????2?3????x???x2??

的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t）。

[解] 对于该系统，

1?A??0???2?3??

其状态转移矩阵由下式确定

?(t)?eAt?L?1[(sI?A)?1]

由于

sI?A??s??00???0s?????21???s?3????2?1?s?3??

其逆矩阵为

(sI?A)?1?1?s?3??2(s?1)(s?2)?s?3????(s?1)(s?2)?2???(s?1)(s?2)1?s??1?(s?1)(s?2)??s?(s?1)(s?2)??

因此

?(t)?eAt?L?1[(sI?A)?1]

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?2e?t?e?2te?t?e?2t? ???t?2t?t?2t??e?2e????2e?2e?由于Ф-1（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为

?(t)?e

?1?At?2et?e2tet?e2t?

??t2t?et?2e2t???2e?2e?第二节 状态转移矩的求法(凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)

定理, 对角线标准形与Jordan标准形法)

【教学目的】 了解状态转移矩阵的另外两种求法 【教学重点】 对角线标准形

【教学难点】 凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】2.2，2.4 【学时分配】2学时

【教学内容】1）化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法)； 2）对角线标准形与Jordan标准形法 例：

?0A??0??1[解] 该矩阵的特征方程为

10?30?1? 3??|?I?A|??3?3?2?3??1?(??1)3?0

因此，矩阵A有三个相重特征值λ=1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为

P?Q?1?1矩阵

S0??10???P1的逆为1 0???1?21???1???1???101?2110?1??1???10120? 0??1??PAP?1注意到

?1??0???00??00??0??1????10?1??J?1??10?30??11??1??3????10120?0? ?1??8