6.7 二重积分的概念与性质

第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解

1．利用二重积分定义证明：

??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?。

DDn?0iii【证明】由二重积分定义

?f(?,?)????f(x,y)d??lim?Di?1n，得

?kf(?,?)????kf(x,y)d??lim?D?0iii?1i?limk?f(?i,?i)??i

??0i?1n?klim?f(?i,?i)??i?k??f(x,y)d?，

??0i?1nD证毕。

2．利用二重积分的几何意义说明：kd??k?（k?R为常数，?为积分区域D的面积）。

D??【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分的柱体体积，

于是知，二重积分

??f(x,y)d?就是以z?f(x,y)为曲顶

D??kd?表示以平面z?k为顶的柱体体积，

D而以平面z?k为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z?k， 但该柱体的底面积就是积分区域D的面积?， 从而得，

??kd??k?。

D3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴

??xy(x?y)d?，其中积分区域D??(x,y)0?x?1,0?y?1?；

D【解】由于区域D?(x,y)0?x?1,0?y?1，可知区域D的面积为

而由于0?x?1，0?y?1，可得0?xy?1，0?x?y?2， 从而有0?xy(x?y)?2，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

????d??1?1?1，

D??0d????xy(x?y)d????2d?

DDD亦即为 0?⑵

??xy(x?y)d??2。

D??(x?y?1)d?，其中积分区域D??(x,y)0?x?1,0?y?2?；

D【解】由于区域D?(x,y)0?x?1,0?y?2，可知区域D的面积为

?? ??d??1?2?2，

D 1

第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解

而由于0?x?1，0?y?2，可得0?x?y?3， 从而1?x?y?1?4，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

??1d????(x?y?1)d????4d?

DDD亦即为 2?⑶

??(x?y?1)d??4?2，整理得2???(x?y?1)d??8。

DD22??(xD2?4y2?9)d?，其中积分区域D??(x,y)x2?y2?4?。

【解】由于区域D?(x,y)x?y?4，可知区域D的面积为

2222??2d????2?4?， ??D下面求函数f(x,y)?x?4y?9在条件x?y?4下的最大、最小值， 亦即椭圆抛物面z?x?4y?9在圆柱x?y?4内部的最大、最小值， 易见x?4y?0，可知z?x?4y?9?9，当x?y?0时等号成立， 又可知，椭圆抛物面z?x?4y?9与圆柱x?y?4的交线，在椭圆簇的短轴上

达到最高，亦即当x?0，y??2时，函数f(x,y)?x?4y?9取得最大值，最大值为

22222222222222f(0,?2)?0?4?4?9?25，

因此得，9?x?4y?9?25， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

22??9d????(xDD2?4y2?9)d????25d?

D亦即为 9?4??整理得 36????(x?y?1)d??25?4?，

DD??(x?y?1)d??100?。

34．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴

??(x?y)d?与??(x?y)d?，其中积分区域D由x轴，y轴与直线x?y?1所围成。

DD2【解】积分区域D如图

2

第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解

由图可见，在区域D中，0?x?y?1，于是由于函数y?a（0?a?1）是减函数，而知以x?y为底的指数函数是增函数，即由2?3有(x?y)?(x?y)，

于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得⑵

23x??(x?y)d????(x?y)d?。

DD232与ln(x?y)d?[ln(x?y)]d?，其中D??(x,y)3?x?5,0?y?1?。 ????DD【解】积分区域D如图

由于在区域D中有3?x?5，0?y?1，可得3?x?y?6， 于是1?lne?ln3?ln(x?y)?ln6，

于是由于函数y?a（a?1）是增函数，可知以ln(x?y)为底的指数函数是增函数， 即由1?2得ln(x?y)?[ln(x?y)]， 于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得

5．若

。 ??1d?=1，则积分区域D可以是（ ）

D2 ln(x?y)d??[ln(x?y)]d?。????DD2x（A）由x轴，y轴与直线x?y?2所围成的区域； （B）由x?1，x?2及y?2，y?4所围成的区域； （C）由x?11，y?所围成的区域； 22（D）由x?y?1，x?y?1所围成的区域。 【解】应填“（C）”。因为

??1d??SDD?1，而下面各区域D的面积为：

（A）由x轴，y轴与直线x?y?2所围成的区域如图

得SD?

2?2?2?1； 23

第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解

（B）由x?1，x?2及y?2，y?4所围成的区域如图

得SD?(2?1)(4?2)?2?1； （C）由x?11，y?所围成的区域如图 22

得SD?[?(?)][?(?)]?1； 至此，可以终止判断了。事实上有：

（D）由x?y?1，x?y?1所围成的区域如图

12121212

得SD?

2?2?2?1。

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