步步高二轮高三数学专题一 第1讲

b1b2a1b1必要性成立：A＝B?a1a2>0?－＝－?＝；

a1a2a2b2

③当p∨q为真命题时，p，q不一定全真，因此p∧q不一定为真命题；

2

④命题“?x0∈R，x20＋x0＋1<0”的否定应为“?x∈R，x＋x＋1≥0”．

所以①②为真，故选C.

4．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集?属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ＝{?，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}；

④τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．

其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号)

押题依据 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口． 答案 ②④

解析 ①τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}?τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}?τ，所以③错．

A组 专题通关

1．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( ) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} 答案 C

解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B， ∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

2．设集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，B＝{x|y＝lg(－x)}，则A∩B等于( ) A．(0,1]

B．[－1,0)

C．[－1,0] 答案 B

D．(－∞，1]

解析 因为A＝[－1,1]，B＝(－∞，0)， 所以A∩B＝[－1,0)．故选B.

3．(2017届河南息县第一高级中学检测)已知集合A＝{x|x2－4<0}，B＝{x|－1

RB)等于(

)

B．(－2，－1) D．(－2,2)

A．(－2,0) C．(－2，－1] 答案 C

解析 A＝{x|x2－4<0}＝{x|－25}， 所以A∩(?RB)＝(－2，－1]，故选C.

4．(2017·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0 答案 B

解析 集合A表示以原点O为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合， 集合B表示直线y＝x上的所有点的集合． 结合图形可知，直线与圆有两个交点， 所以A∩B中元素的个数为2. 故选B.

5．(2017·山东)已知命题p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( ) A．p∧q C．(綈p)∧q 答案 B

解析 ∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.

B．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．

∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a2＜b2，

∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题． 故选B.

6．(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题： 1

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； －

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2； －

p4：若复数z∈R，则z∈R. 其中的真命题为( )

A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案 B

解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．

a－bi11

对于p1，若∈R，即＝22∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；

za＋bia＋b对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R， 则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi?R， 所以p2为假命题；

对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0?a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；

对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?z＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B. 7．(2017届安徽淮北一中模拟)“a2＝1” 是“函数f(x)＝ln(1＋ax)－ln(1＋x)为奇函数”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．即不充分也不必要条件 答案 B

解析 当a＝1时，f(x)＝0(x>－1)为非奇非偶函数， 当a＝－1时，f(x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)为奇函数， 故为必要不充分条件． 8．下列四种说法中：

2

①命题“?x0∈R，x20－x0>0”的否定是“?x∈R，x－x<0”；

②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点?2，

?

12?，则f(4)的值等于；

22?2

④已知向量a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则向量a在向量b方向上的投影是.

5其中说法错误的个数为( ) A．1 C．3 答案 C

2

解析 ①项，命题“?x0∈R，x20－x0>0”的否定是“?x∈R，x－x≤0”，故①项错误；

B．2 D．4

②项，充分性：“p且q为真”，则p真，q真，故p或q为真，充分性成立；必要性：“p或q为真”，则p与q其中一个命题可以为假命题，故命题“p且q为真”不一定成立，故必要性不成立，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故②项错误；③项，幂函数f(x)＝xa的图象经过点?2，

?

2112?

，则f(2)＝2a＝?a＝－，则f(4)＝，故③项正确；

2222?

a·b225

＝＝，故④|b|55

④项，向量a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为|a|cos θ＝项错误．故选C.

9．(2017届汕头期末)下列判断错误的是( )

2

A．命题“?x0>1，x20－1>0”的否定是“?x>1，x－1≤0”

B．“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件 C．若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题